Känner du igen någon av formlerna i rutan här nedanför?

Den första beskriver sambandet mellan sträcka, konstant hastighet och tid, den andra är formeln för triangelns area och den tredje omvandlar en temperatur i enheten Fahrenheit till Celsius. Bokstäverna (s, v, t, A, b osv.) kallas variabler, eftersom deras värden kan variera. Den del av matematiken där man räknar med bokstäver på det här sättet kallas algebra.

För många är algebra som den där hostmedicinen man tvingades dricka som barn – det sägs att den är nyttig och man måste svälja den. Algebra är matematikens och vetenskapens stenografi. Inget annat språk kan formulera så mycket information på så liten yta. Med algebra kan man beskriva komplicerade samband med bara några få symboler. Men dess strama form kan göra att den känns abstrakt och oangelägen. Torra rader på ett papper som inte angår dig. I det här blogginlägget hoppas jag få dig att tänka om. Här är fyra formler om dig. Och varför du ska bry dig.

1. Maxpuls

Om du skulle pressa ditt hjärta till sitt yttersta, skulle det nå sin maxpuls: det högsta antal slag per minut som ditt hjärta kan slå. Vill du bestämma din maxpuls är det mest tillförlitliga sättet att göra ett så kallat maxpulstest, där du under kontrollerade former utsätter dig för extrem fysisk ansträngning. Men om du nöjer dig med en uppskattning av maxpulsen, kan du använda den algebraiska formeln
m = 220 – a där m är maxpulsen i slag/minut och a är din ålder. Du kan alltså uppskatta din maxpuls genom att lugnt sitta kvar i soffan och subtrahera din ålder från 220. Om du är 25 år gammal är din maxpuls följaktligen omkring 220 – 25 = 195 slag/minut.

2. Längd

Om du skulle sia om ett barns framtida längd som vuxen, skulle du förmodligen be att få veta längden av barnets föräldrar. Det är knappast en överraskning att mammans och pappans längd ger en god indikation på hur långt deras barn kommer att bli. Mer förbluffande är att forskarna har kunnat kvantifiera hur föräldrarnas längd påverkar barnets. Deras slutsatser kan kort och koncist formuleras i Tanners formel för barnets genetiska längdpotential:

Bokstäverna b, m och p i formeln står i tur och ordning för barnets, mammans respektive pappans längd mätt i centimeter. Enligt formeln får vi en uppskattning av barnets längd som vuxen genom att beräkna medelvärdet av föräldrarnas längder och därefter lägga till eller dra ifrån 6,5 cm beroende på om barnet är en pojke (+) eller en flicka (–). Testa själv! Hur väl stämmer din längd med formeln?

Eftersom min mamma var 169 cm, min pappa 177 cm och jag är kvinna, förutsäger formeln att min genetiska längdpotential är b = (169 + 177)/2 – 6,5 = 166,5 cm. I själva verket är min vuxna längd 168 cm om jag sträcker på mig, men formeln kan ju trots allt inte ta hänsyn till all den där havregrynsgröten.

3. Kroppsarea

Tänk dig att du skulle kunna vränga av dig din hud som en tröja, klippa upp den i en av sömmarna och fläka ut den på golvet som ett stycke tyg. Hur stor area skulle den ha? Det är en på samma gång både märklig och svår fråga. Men om vi för ett ögonblick tillåter oss att fundera på den, vilka faktorer borde ha betydelse för din totala kroppsarea?

Det är rimligt att du har större kroppsarea ju längre du är. Din längd är alltså en faktor att ta med i beräkningarna. Men personer av samma längd, kan ha väldigt olika kroppstyp. Några är smala, andra rundare. Ett möjligt sätt att väga in detta är att även ta hänsyn till personens vikt. Flera forskare har resonerat på liknande sätt och kommit fram till sinsemellan snarlika formler för en människas kroppsarea. Den enklaste av dessa är Mostellers formel:

Bli inte nervös av rottecknet! Du tar helt enkelt din längd i centimeter (l), multiplicerar med din vikt i kilogram (v), dividerar resultatet med 3 600 och drar sedan roten ur hela rasket.  Sätter jag in mina värden – 168 cm respektive 59 kg – i formeln får jag veta att min kroppsarea är ungefär 1,7 kvadratmeter. Jag går alltså runt och bär på ungefär 1,7 kvadratmeter hud.

4. Livslängd

Om någon skulle kunna tala om för dig hur många år du har kvar att leva, skulle du vilja veta det då? Det är givetvis en omöjlig uppgift, även för en matematiker, att med precision förutsäga levnadsödet för en enskild individ. Men om du ersätter varje x i formeln här nedanför med din ålder, får du ett mått på hur många år en genomsnittlig svensk i din ålder förväntas ha kvar att leva. Vågar du testa?

y = 0,0000852x³ – 0,0108748x² – 0,5041670x + 75,6234480,  x ≥ 30

Har du inte en miniräknare till hands kan du mata in din ålder i min kalkylator:

Formeln har jag tagit fram genom att använda data från Statistiska centralbyrån och utföra en så kallad polynomregression. Det innebär att jag prickat in informationen från scb:s tabell som punkter i ett koordinatsystem och låtit datorn anpassa en kurva efter dem.

På så sätt har jag i ett trollslag sammanfattat all information från scb:s stora tabell i en enda matematisk formel. Det är lite som när trollkarlen Merlin i filmen Svärdet i stenen trollar ner hela sitt bohag i en liten handväska. Eftersom Statistiska centralbyråns data endast gäller för personer över 30 år, ger formeln bara tillförlitliga värden för personer som är 30 år och äldre. Det är det som är innebörden i det lilla tillägget x ≥ 30 efter formeln.

Men varför behöver formeln vara så komplicerad? För att beräkna hur många år man förväntas ha kvar att leva räcker det väl att känna till att medellivslängden i Sverige är 82 år och helt sonika subtrahera sin ålder från 82? Nej, riktigt så enkelt är det inte. Det är sant att en nyfödd person år 2018 – det år från vilket statistiken är hämtad – kommer att leva i, i genomsnitt 82 år. Men det faktum att du har levt till att bli åtminstone 30 år ändrar de spelreglerna. Det innebär nämligen att du inte är en av dem som dött tragiskt ung och som drar ner den totala medellivslängden i riket till 82 år. När vi vet att du inte är en av dem, säger statistiken att du sannolikt kommer att leva till att bli äldre än 82 år. Är du exempelvis 35 år kommer du enligt formeln att leva i 48,3 år till, dvs. till dryga 83 års ålder. Har du överlevt till att se din 50-årsdag har du ökat dina chanser ytterligare. Då har du i genomsnitt 34 år kvar att leva och alltså en god chans att få fira din 84-årsdag.

Varför du ska bry dig

Om du har läst såhär långt har du fått se algebraiska formler som berättar fyra kuriotiska fakta om dig. Du har kanske till och med tagit fram miniräknaren på mobilen och uppskattat din maxpuls, din längdpotential, din kroppsarea och din förväntade återstående livslängd. Men även om du fått ett par samtalsämnen att plocka fram ur rockärmen på nästa företagsmingel undrar du kanske vad all den här formelexercisen egentligen är bra för. Vad ska man ha det här till? Faktum är att var och en av de fyra formlerna har viktiga användningsområden.

Formeln för maxpuls används i många pulsklockor (1). Genom att låta användaren mata in sin ålder kan klockan med formelns hjälp uppskatta hennes maxpuls. På så sätt kan klockan under träningspasset informera om på vilken procent av maxpulsen, dvs. med vilken intensitet, som personen tränar för tillfället. Det är en av hörnstenarna i så kallad pulsträning.

Formeln för längdpotential används inom vården för att uppskatta ett barns längd som vuxen. På så sätt kan man försäkra sig om att barnet växer i normal takt. Även formeln för kroppsarea används inom vården, bland annat för att beräkna mängden cytostatika som man ger till cancerpatienter. Hypotesen är att kroppsarea är ett bättre mått än patientens vikt, när det gäller att förutse hur kroppen bryter ner medicinen. På så sätt kan man optimera effekterna av läkemedlet samtidigt som man minimerar biverkningar.  

Statistik om återstående medellivslängd är ett viktigt mått på folkhälsa. Genom att studera återstående medellivslängd för personer i olika åldrar och med olika utbildningsbakgrund kan man jämföra hälsoutvecklingen i olika samhällsgrupper. Även försäkringsbolag kan ha nytta av statistik om återstående medellivslängd för att beräkna vilken premie de ska sätta på sina livförsäkringar.

Det finstilta

De fyra formlerna handlar alltså om långt mer än dig. De har konkreta användningsområden inom vardag, vård och samhälle. Men det jag har berättat för dig här ovanför är inte riktigt hela sanningen. Det är bäst att du även läser det finstilta.

Titta tillbaka på formeln för triangelns area i inledningen. Vill du bestämma en triangels area behöver du bara mäta två saker, dess bas och dess höjd, och sedan använda sambandet A = b⋅h/2. Fullständig precision. Inga osäkerheter.

En enskild persons maxpuls, längd, kroppsarea och livslängd däremot, beror av en mängd olika faktorer som samverkar med varandra på oförutsägbara sätt. Våra formler tar endast hänsyn till en eller ett par sådana faktorer och kan därför inte helt beskriva alla individuella variationer. Man säger att formlerna är matematiska modeller av verkligheten.

Du kan tänka på en matematisk modell som en enkel skiss. I en skiss tecknar man konturerna av ett objekt, de grova dragen. De små detaljerna lämnar man därhän. På samma sätt tecknar en matematisk modell ett fenomen i stora drag, men fångar inte med precision alla individuella särdrag. Den maxpuls som formeln m = 220 – a förutspår är alltså bara en kvalificerad gissning av din maxpuls, måttet på din kroppsarea har viss felmarginal och ett barns längd kan – på grund av variationer i arv och miljö – avvika med så mycket som 10 cm från den beräknade längdpotentialen.

Men även om formlerna inte kan förutsäga en enskild individs fysiologiska egenskaper med fullständig precision, har de en imponerande profetisk förmåga på gruppnivå. Formeln för maxpuls indikerar till exempel att maxpulsen för en befolkning sjunker med åldern med ca 1 slag/minut per år. En granskning av formeln för längdpotential gör att vi med gott självförtroende kan gissa att det i genomsnitt skiljer 13 cm mellan en pojke och flicka från samma familj. Samma klärvoajanta krafter ser vi i formeln för återstående livslängd. Den maler på ett imponerande sätt ner alla slumpmässigheter i våra enskilda liv – den där lastbilen som missade dig med en hårsmån – till en enda rad algebra som kan förutspå den återstående livslängden för en genomsnittlig svensk.

Att skapa en matematisk modell är lite som att försöka skriva ner receptet till en riktigt komplicerad gryta, genom att smaka på den med ögonbindel. Man urskiljer de grövsta bitarna och de mest framträdande smakerna, men missar en del av de hemliga ingredienserna, pricken över i. I formeln för återstående livslängd har vi till exempel inte tagit hänsyn till att din livslängd beror på om du är man eller kvinna (kvinnor lever i genomsnitt längre än män) och heller inte tagit med i beräkningarna att risken att dö i vissa sjukdomar kan minska under din livstid. I gengäld har vi en förhållandevis enkel formel, som bara beror av din ålder. I matematisk modellering – precis som i det italienska köket – arbetar vi helst med få komponenter. Enkelhet är kung. Resultaten av matematiska modeller, som de fyra vi har presenterat här, ska med andra ord serveras med en nypa salt. Men trots att formlerna har en inbyggd osäkerhet, producerar de både goda och användbara resultat.

(1) Pulsklockföretaget Polar anger till exempel på sin hemsida att de använder formeln i sina klockor. Under senare år har forskare föreslagit andra, bättre validerade formler för maxpuls, t.ex. Tanaka’s m = 208 - 0,7a.

Referenser och vidare läsning

Folkhälsomyndigheten, Folkhälsans utveckling – årsrapport 2019

Hagenäs, Lars & Engel, Katrin (2014) Tillväxt hos barn och ungdomar, Viss, Stockholms läns landsting

Hemström, Örjan (2013) Medellivslängd – mått med gamla anor

Hu et al. (2000) MedCalc, Body surface area

Kouno, Tsutomu et al. (2003) Standardization of the Body Surface Area (BSA) Formula to Calculate the Dose of Anticancer Agents in Japan, Jpn J Clin Oncol 2003;33(6)309–313

Magnusson Österberg, Jenny (2018) Så växer barn

Polar Blog (2016) How to calculate your maximum heart rate for running

Robergs, Robert A. & Landwehr, Roberto (2002) The surprising history of the “Hrmax=220-age” equation, JEPonline Journal of Exercise Physiologyonline, ISSN 1097-9751 An International Electronic Journal Volume 5 Number 2 May 2002

Schnur, Myrna B. (2017) Body Mass Index and Body Surface Area: What's the Difference?

She et al. (2015) Selection of suitable maximum-heart-rate formulas for use with Karvonen formula to calculate exercise intensity, International Journal of Automation and Computing, February 2015, Volume 12, Issue 1, pp 62–69

Statistikdatabasen, Ettåriga livslängdstabeller efter utbildningsnivå, födelseregion, kön och ålder. År 2012 - 2018

Tanaka et al. (2001) Age-predicted maximal heart rate revisited, Journal of the American College of Cardiology Volume 37, Issue 1, January 2001