De flesta av oss undviker att klättra i höga träd, prova droger och balansera på broräcken. Även om risken att vi skadar oss är liten, är den inte värd att ta eftersom den har så förödande konsekvenser. Samtidigt kan vi utsätta oss för relativt stora risker, så länge konsekvenserna inte är så kännbara. Många av oss skulle säkert kunna gå hemifrån utan paraply, även en dag då risken för regn är överhängande – det är ju trots allt inte hela världen att bli blöt.
Vardagen vimlar av situationer där vi på liknande sätt behöver fatta beslut genom att väga riskens storlek mot omfattningen av dess konsekvenser. Om vi vågar parkera på gatan utan att betala, beror både på risken att bli påkommen och på storleken av bötesbeloppet. Om vi lockas av spelet på online-casinot, beror både på sannolikheten att vinna och på vinstens storlek.
    Det finns ett enkelt matematisk knep som kan vägleda oss i den här typen av situationer – väntevärdet.

Biljett eller inte biljett?     

Vi bilägare har nog alla någon gång parkerat i stan och lite skamset lämnat bilen utan att lösa biljett. Vi ska ju bara parkera en kort stund, har vi tänkt. Bara hämta ett barn från skolan, rusa in i affären eller säga hej till en gammal vän. Samtidigt gnager oron för att den där gula parkeringsboten på 1 200 kr ska sitta där under vindrutetorkaren när vi kommer tillbaka. Då skulle ju den där parkeringsavgiften på 18 kr vara ett litet pris att betala. Så är det värt att chansa?
Låt säga att risken att åka fast är ganska låg, mindre än 1 på 100. Om du aldrig löser biljett, kan du alltså på 100 liknande situationer räkna med att få betala parkeringsbot en gång, och komma undan utan avgift de andra 99 gångerna. Den genomsnittliga kostnaden per parkeringstillfälle skulle alltså bli

Talet −12 kr kallas för händelsens väntevärde. Det är det genomsnittliga utfall du kan förvänta dig om du genomför samma slumpförsök oändligt många gånger.
Beräkningen här ovanför ger en intuitiv känsla för vad väntevärdet beräknar, men det finns ett enklare sätt att bestämma det. Man multiplicerar sannolikheten för utfallet med utfallets värde (1).

Väntevärde = 0,01 ∙ (−1 200 kr) = −12 kr   
Sannolikheten är 0,01 att du förlorar 1 200 kr

Att de båda beräkningarna här ovanför är ekvivalenta, kan man visa med lite bråkakrobatik:

Med beräkningen ovan lyckas väntevärdet knåda ihop två ingredienser – sannolikhetens och konsekvensens storlek – till ett enda tal. Det talet kan man sedan använda för att vägleda sitt beslut. I det här fallet är den förväntade genomsnittliga kostnaden per parkeringstillfälle 12 kr, om du alltid skulle planka, och 18 kr, om du valde att alltid lösa biljett. I den meningen är – med våra antaganden – det ekonomiskt mest rationella beslutet att chansa på att planka (2).

Lott eller inte lott?

På liknande sätt kan man analysera andra situationer. Säg att du funderar på att spela på ett online-casino. Sannolikheten är 1/1 000 att du vinner 10 000 kr och 1/50 000 att du vinner 1 miljon. Väntevärdet för spelet är

Spelar du (oändligt) många gånger, kommer du alltså i genomsnitt att tjäna 30 kr per spel. Om kostnaden att delta är högre än så – och det är den alltid – är det alltså ekonomiskt ofördelaktigt att spela.

Rationell eller irrationell?

Kanske är det något som gnager i dig med resonemangen här ovanför. Ska väntevärdet verkligen vara det enda som vägleder våra beslut vid sådana här tillfällen?
Nja. Det finns naturligtvis andra aspekter att ta hänsyn till. I exemplet med parkeringsbiljetten har till exempel moralen ett finger med i spelet – man bör betala för sig i trafiken. Och skulle det vara så att din månadsbudget inte tål en plötslig utgift på 1 200 kronor, ja, då är det även ur ekonomisk synvinkel värt att betala biljetten. På liknande sätt kan man hävda att väntevärdet inte fångar det egentliga värdet av att spela på casino och andra spel. Det finns ett värde också i själva spänningsmomentet.
Det finns alltså värden, utanför de rent monetära, som väntevärdet inte tar hänsyn till. Ändå har väntevärdet fått agera kompass i ekonomiska teorier som försöker förutspå hur människor kommer att agera i olika situationer. Om människan är rationell – har man argumenterat – bör hon fatta beslut i enlighet med väntevärdet. Men, som exemplen här ovanför antyder, visar forskning att vi människor inte alltid beter oss rationellt i den meningen. Låt mig ge fyra exempel.

1. Förlikning

Studera erbjudandena A och B här nedanför. Motstå frestelsen att beräkna väntevärdet, och följ bara din magkänsla. Vilket erbjudande väljer du?

 A      95 % chans att vinna 550 000 kr

 B      100 % chans att vinna 500 000 kr

De flesta människor väljer alternativ B. Detta trots att de garanterade 500 000 kronorna är lägre än väntevärdet för alternativ A:

Väntevärde för alternativ A = 0,95 ∙ 550 000 kr = 522 500 kr
Sannolikheten är 0,95 att du vinner 550 000 kr

Den lilla risken att vi går helt lottlösa – 5 % – skrämmer oss till den grad att vi är beredda att acceptera en lägre vinst, så länge den är garanterad. Fenomenet kallas för visshetseffekten. Visshetseffekten förklarar bland annat varför människor är benägna att gå med på förlikning i rättsfall. Hellre än att med stor sannolikhet få ett stort skadestånd om vår motpart blir dömd, väljer många av oss att gå med på ett lägre – men garanterat – belopp i en förlikning.

2. Lotteri

En annan situation där många av oss går ifrån principen om att agera enligt väntevärdet, är i lotterier. För att casinon, vadslagningsföretag och lottförsäljare ska gå med vinst, är varje spel konstruerat så att den förväntade genomsnittliga vinsten (väntevärdet) är lägre än kostnaden för att delta. Trots det är många av oss beredda att köpa en lott. Fenomenet kallas för möjlighetseffekten. Även om sannolikheten att vinna är minimal, så existerar den, bara vi köper en lott.

3. Försäkring

Om du någon gång har hyrt en hyrbil, har du med all säkerhet tillfrågats om du vill köpa en extra försäkring. Annars, varnar hyrbilsföretaget, kan du få betala 20 000 kr i självrisk om något skulle hända med bilen. Sådan information kan få den mest självsäkre bilföraren att rygga tillbaka, men är försäkringen en bra deal?
    Läser man det finstilta kan man se att många sådana hyrbilsförsäkringar inte helt eliminerar självrisken, bara sänker den från 20 000 kr till 8 500 kr. Om försäkringen kostar 500 kr och sannolikheten för en olycka är 0,01 så blir väntevärdet för kostnaden

 −500 + 0,01 ∙ (−8 500 kr) = −585 kr
Du får betala 500 kr för försäkringen och har 1 % risk att få betala 8 500 kr

om du väljer att köpa försäkringen. Om du väljer att inte köpa försäkringen är väntevärdet i stället

 0,01 ∙ (−20 000 kr) = −200 kr
Risken är 0,01 att du får betala 20 000 kr

Med våra antaganden är det alltså inte värt att teckna en försäkring. Trots det väljer många av oss att teckna den. Den lilla sannolikheten att vi får betala 20 000 kr är så pass skrämmande att vi är beredda att betala långt mer än väntevärdet för att få sinnesro på semestern.

4. Vadslagning

Hittills har vi sett tre exempel på situationer där vi människor tenderar att agera tvärtemot väntevärdet. Låt mig beskriva ytterligare en. Tänk dig att du har spelat ihop en skuld på 100 000 kr. Spelbolaget ger dig en sista chans att vinna tillbaka hela beloppet. Sannolikheten att du vinner är 5 %. Förlorar du, ökar skulden till 150 000 kr. Bör du ta chansen?

Väntevärdet = 0,05 ∙ 100 000 kr + 0,95 ∙ (−50 000 kr) = −42 500 kr
Sannolikheten är 0,05 att du vinner 100 000 kr och 0,95 att du förlorar 50 000 kr

De flesta av oss inser nog, även utan väntevärdesberäkningen här ovanför, att det här är en dålig deal. Ändå tar en del av oss chansen. Nobelpristagaren Daniel Kahneman förklarar beteendet så här: ”Tanken på att acceptera en stor säker förlust är för smärtsam och hoppet om fullständig lättnad är alltför frestande, för att man ska fatta det förnuftiga beslutet att begränsa sina förluster.” (s. 467) Det är därför spelmissbrukare fortsätter att spela, även när de står på ruinens brant. Det är därför länder fortsätter att kriga, även när slaget sedan länge är förlorat.

Väntevärdet vinner i längden

De fyra situationerna här ovanför visar att det kan ta emot att agera enligt väntevärdet. Tanken på att man faktiskt kvaddar den där hyrbilen och får en faktura på 20 000 kr, kan få även en väntevärdesnörd att teckna en försäkring. Men även om det kan finnas rimliga skäl att agera mot väntevärdet, är dess dom obönhörlig. Livet är fullt av små spel – om du genomgående agerar tvärtemot väntevärdet kommer du garanterat att förlora på det i längden.

Noter:

(1) Man multiplicerar egentligen varje möjligt utfall med sin sannolikhet, men eftersom utfallet ”inte påkommen” har värdet 0 kr (då parkerar man ju gratis), har jag valt att förenkla och inte ta med det i beräkningen.

(2) Om parkeringsboten eller risken att bli påkommen var högre, skulle svaret ha kunnat bli ett annat.

Referenser och vidare läsning

Kahneman, Daniel (2011) Tänka, snabbt och långsamt. Månpocket.

Priest, Graham (2017) Logic – a very short introduction. Oxford University Press.

Ranadive, Ameet (2017) The Possibility Effect: why lotteries and insurance exist. https://medium.com/@ameet/the-possibility-effect-why-lotteries-and-insurance-exist-17a636cf3bd6 Läst: 2023-11-19