I den här grafberättelsen får eleverna skissa grafen som beskriver en cykels fart när den åker nerför en backe och fortsätter upp för en annan backe tills den stannar.

Den resulterande grafen är en andragradskurva med en maximipunkt. I slutet av grafberättelsen visas skillnaden mellan de uppmätta värdena och den matematiska modellen.

Förslag till arbetsgång

1. Visa den första delen av filmen för eleverna. Pausa efter att koordinatsystemet har visats och förklara för eleverna att de ska rita en graf som visar hur cykelns hastighet förändras med tiden.

2. Dela ut grafpapper eller låt eleverna själva rita ett tomt koordinatsystem i sina anteckningsböcker.

3. Starta filmen igen, så att eleverna får se händelsen ännu en gång, och ge eleverna tid att rita grafen.

4. Gå runt i klassrummet och följ elevernas arbete. Välj eventuellt ut några grafer, som du vill jämföra i helklass.

5. Diskutera elevernas grafer i helklass. Hjälp eleverna att sätta ord på grafernas likheter och skillnader. Introducera samtidigt viktiga matematiska begrepp som icke-linjär, växande, avtagande, andragradsfunktion, parabel, maximipunkt, extrempunkt.

6. Starta videon igen och visa den korrekta grafen. Diskutera likheter och skillnader mellan den korrekta grafen och elevernas förslag. Hur väl hade eleverna uppskattat maxhastigheten? Notera att tiden i grafen är något längre än vad som visas i filmen. Det beror på att filmen är klippt.

Anpassning

Om eleverna har svårt att komma igång, kan man ställa stöttande frågor, som

• Vilken är cykelns hastighet från början? I vilken punkt bör grafen börja?

• Hur lång tid tror du att det tar innan cykeln stannar? I vilken punkt bör grafen sluta?

• Vilken tror du är cykelns topphastighet? Efter hur lång tid antas den?

Man kan också be eleverna att i ord formulera hur de tror att hastigheten förändras. Det kan hjälpa dem att sedan skissa en graf.

Ett annat sätt att stötta eleverna är att gemensamt i klassen rita ut en lämplig skala på axlarna eller att dela ut ett koordinatsystem till eleverna där skalan redan är utsatt.

Variation

I stället för att låta eleverna rita grafen, kan man visa eleverna ett antal typgrafer och låta eleverna välja vilken av graferna som beskriver cykelns hastighet. Det kan avslöja vanliga missuppfattningar. Elevernas svar kan samlas in via något digitalt verktyg, som Kahoot eller Socrative, och därefter diskuteras. Förslag till typgrafer hittar du här.

Utvidgning

Ett sätt att utvidga övningen är att låta eleverna

• försöka komma på andra situationer som kan beskrivas med en liknande kurva (t.ex. spjutkasts höjd över marken)

• avläsa några värden från grafen och bestämma funktionsuttrycket till andragradsfunktionen, med eller utan digitalt hjälpmedel

• skissa en graf som beskriver cykelns tillryggalagda sträcka

• skissen grafen till den primitiva funktionen

• skissa grafen till derivatan

• bestämma lutningen i några punkter och tolka vad resultatet betyder i sammanhanget

Man kan också gå djupare genom att ställa (eller låta eleverna ställa!) vad-händer-om-frågor, t.ex.

• Hur skulle grafen ha sett ut om nerförsbacken varit längre? Kortare?

• Hur skulle grafen ha sett ut om nerförsbacken varit brantare? Mindre brant?

• Hur skulle grafen se ut om cykeln redan är i rörelse när vi startar tiden?

Följ gärna upp med grafberättelsen Cykelns sträcka. På gymnasiet ger det möjlighet att låta eleverna göra koppling mellan en funktion och dess primitiva funktion.