I den här grafberättelsen får eleverna skissa grafen som beskriver en cykels tillryggalagda sträcka när den åker nerför en backe och fortsätter upp för en annan backe tills den stannar.

Den resulterande grafen är grafen till en tredjegradsfunktion. Eftersom detta är samma film som till Cykelns hastighet, kan dessa två grafberättelser användas för att diskutera begrepp som derivata och primitiv funktion.

Förslag till arbetsgång

1. Visa den första delen av filmen för eleverna. Pausa efter att koordinatsystemet har visats och förklara för eleverna att de ska rita en graf som visar hur cykelns tillryggalagda sträcka förändras med tiden.

2. Dela ut grafpapper eller låt eleverna själva rita ett tomt koordinatsystem i sina anteckningsböcker.

3. Starta filmen igen, så att eleverna får se händelsen ännu en gång, och ge eleverna tid att rita grafen.

4. Gå runt i klassrummet och följ elevernas arbete. Välj eventuellt ut några grafer, som du vill jämföra i helklass.

5. Diskutera elevernas grafer i helklass. Hjälp eleverna att sätta ord på grafernas likheter och skillnader. Introducera samtidigt viktiga matematiska begrepp som icke-linjär, växande, lutning.

6. Starta videon igen och visa den korrekta grafen. Diskutera likheter och skillnader mellan den korrekta grafen och elevernas förslag. Hur väl hade eleverna uppskattat den totala sträckan? Notera att tiden i grafen är något längre än vad som visas i filmen. Det beror på att filmen är klippt.

Anpassning

Om eleverna har svårt att komma igång, kan man ställa stöttande frågor, som

• I vilken punkt bör grafen börja?

• Hur lång sträcka tror du att cykeln har åkt när den stannar? Hur lång tid tar det? I vilken punkt bör alltså grafen sluta?

• Hur tror du att grafen ser ut däremellan?

Man kan också be eleverna att i ord formulera hur de tror att sträckan förändras. Det kan hjälpa dem att sedan skissa en graf.

Ett annat sätt att stötta eleverna är att gemensamt i klassen rita ut en lämplig skala på axlarna eller att dela ut ett koordinatsystem till eleverna där skalan redan är utsatt.

Variation

I stället för att låta eleverna rita grafen, kan man visa eleverna ett antal typgrafer och låta eleverna välja vilken av graferna som beskriver cykelns sträcka. Det kan avslöja vanliga missuppfattningar. Elevernas svar kan samlas in via något digitalt verktyg, som Kahoot eller Socrative, och därefter diskuteras. Förslag till typgrafer hittar du här.

Utvidgning

Ett sätt att utvidga övningen är att låta eleverna

• bestämma grafens lutning i några punkter och tolka vad det betyder i sammanhanget

• skissa en graf som beskriver hur cykelns hastighet förändras

• skissa derivatans graf

Man kan också gå djupare genom att ställa (eller låta eleverna ställa!) vad-händer-om-frågor, t.ex.

• Hur skulle grafen ha sett ut om nerförsbacken varit längre? Kortare?

• Hur skulle grafen ha sett ut om nerförsbacken varit brantare? Mindre brant?

Kontrastera gärna med grafberättelsen Cykelns hastighet. På gymnasiet ger det möjlighet att låta eleverna göra koppling mellan en funktion och dess derivata.