Frågeställningen här nedanför är hämtad ur boken Tänka, snabbt och långsamt (s. 98) av nobelpristagaren Daniel Kahneman. Läs den och notera det första svar som dyker upp.

I en sjö finns en anhopning med näckrosblad. Varje dag blir den dubbelt så stor. Om det tar 48 dygn för anhopningen att täcka hela sjön, hur lång tid skulle det ta för den att täcka halva sjön?

Svaret är närmast uppenbart: 24 dygn. Eller? Läser man noggrant, framgår det att anhopningen av näckrosor blir dubbelt så stor varje dag. Eftersom hela sjön är täckt av näckrosor efter 48 dagar, måste därför halva sjön vara täckt föregående dag, dvs. efter 47 dagar.

Är du en av dem som intuitivt svarade 24 dygn, har du låtit dig vilseledas av ditt linjära tänkande. Det innebär att du antar att mängden näckrosor ökar i jämn takt, alltså med ett visst antal kvadratmeter per dag. I så fall skulle grafen som beskriver näckrosornas tillväxt vara en rät linje.

I själva verket är inte ökningen additiv, utan multiplikativ. För varje dag som går multipliceras arean med en faktor, i det här fallet faktorn 2. En sådan multiplikativ ökning har ett särskilt namn, exponentiell tillväxt och den motsvaras av en graf som böjer sig mot oändligheten.

Linjär snedvridning

Linjära modeller är användbara i många sammanhang. Din elräkning växer linjärt med antalet kilowattimmar du förbrukar, priset för din elskootertur beror linjärt på hur många minuter du åker och antalet öl du behöver köpa till middagen, beror linjärt på hur många personer som förväntas komma.
Eftersom linjärt tänkande är snabbt och intuitivt, tenderar vi dock att tillämpa det i både möjliga och omöjliga sammanhang. Fenomenet kallas för linjär snedvridning (linear bias). Genom att stifta bekantskap med några icke-linjära samband, kan du undvika de vanligaste tankevurporna.

Exponentiell tillväxt

Låt oss börja med att återvända till exponentiella samband, den typ av samband som beskrev näckrosornas tillväxt här ovanför. Exponentiell tillväxt har i folkmun blivit synonymt med att något ökar väldigt snabbt. Författaren Kit Yates har framgångsrikt illustrerat ökningen i sin lekfulla dikt Exponential Growth.

Fysikern Albert Bartlett har sagt att: ”The greatest shortcoming of the human race is our inability to understand expontential growth.” Det är kanske något av en överdrift, men vår oförmåga att begripa exponentiella samband kan mycket väl få allvarliga konsekvenser. Ett sådant exempel är smittspridning. När en smittsam sjukdom sprids, ökar inledningsvis antalet nya fall exponentiellt. Om vi utgår från patient noll och antar att antalet nya sjukdomsfall fördubblas varje dag, så kommer vi på den sjunde dagen att registrera 64 nya sjukdomsfall. Det låter kanske inte så alarmerande, men redan en vecka senare förutsäger modellen att vi får registrera 8 192 nya sjukdomsfall på en och samma dag. Även om vår exponentiella modell är orimlig i det långa loppet, illustrerar den att linjärt tänkande kan få oss att allvarligt missbedöma riskerna med smittspridning.

Kraften i kvadraten

Exponentiella samband är inte de enda som kan sätta vår intuition ur spel. Säg att du har sytt en kvadratisk duk med sidlängden 1 m. Hur mycket tyg går åt till en likadan duk med sidlängden 3 meter? Mångas instinktiva svar är att det går åt tre gånger så mycket tyg, men då tänker de linjärt. Faktum är att mängden tyg niofaldigas. Det blir tydligt om man ritar en bild.

Att sambandet mellan tygåtgång och dukens sidlängd inte är linjärt, beror på att arean av duken beror av sidlängden i kvadrat. Ritar man en graf över sambandet, ser man att grafen är en böjd kurva. Tygåtgången ökar alltså allt snabbare ju längre dukens sidlängd blir.

Att ha känsla för kvadratiska samband kan rädda liv i trafiken. I en linjär värld skulle en ökning av hastigheten med 50 %, leda till en 50 %-ig ökning av bromssträckan. Men bromssträckan beror av hastigheten i kvadrat. En 50 %-ig ökning av hastigheten resulterar därför i att bromssträckan mer än fördubblas – den ökar med hela 125 %. Det kan vara bra att ha i bakhuvudet när du gasar på lite extra.

Nyckfulla nämnaren

Sambandet mellan hastighet och bromssträcka är inte det enda icke-linjära samband i trafiken som kan förvilla. Låt säga att du kör bil från Stockholm till Göteborg med medelhastigheten 90 km/h. Ökar du hastigheten till 110 km/h, så sparar du totalt 56 minuter i restid. De flesta bilförare förväntar sig samma tidsvinst om de ökar hastigheten från 110 km/h till 130 km/h, eftersom ökningen även då är 20 km/h. Men tidsvinsten i detta fall blir förvånansvärt nog bara 39 minuter. Tankefällan är återigen att vi antar att sambandet mellan tid och hastighet är linjärt. I själva verket är tiden omvänt proportionell mot hastigheten, t = s/v. Det ger en graf som ser ut så här.

Effekten av omvänt proportionella samband kan stå dig dyrt i affärssammanhang. Säg att du överväger att sänka priset på en vara med 20 %. Hur många fler varor måste du sälja för att intäkterna ska bli desamma? Vårt linjära tänkande ger oss ett snabbt svar: 20 %. Men matematiken ger oss andra besked. Du måste öka antalet sålda varor med 25 % för att intäkterna ska förbli oförändrade - och ännu mer om du förväntar dig att prissänkningen ska ge dig vinst.

Otippade trösklar

Det linjära tänkandet fäller faktiskt även krokben för oss när vi ska bedöma människans effekter på klimatet. Det är lätt att tänka linjärt och förmoda att en halvering av utsläppen leder till en halvering av den globala uppvärmningen, eller att en minskning av flygets utsläpp med 60 % leder till att flygets klimatpåverkan minskar med 60 %. Som vi har sett av exemplen här ovanför är många samband mer komplicerade än så.

Samma linjära intuition säger oss att en liten förändring i klimatet borde ha liten påverkan på miljön. Men när våra naturliga ekosystem når en brytpunkt, kan även en liten förändring i förhållandena ge upphov till tvära förändringar i naturen. Det här fenomenet kallas för tipping points eller tröskelpunkter.

Förståelse för tröskelpunkter är avgörande för att vi ska kunna förutsäga klimatförändringarnas effekter på jorden.

Utmana ditt linjära tänkande

Nobelpristagaren Daniel Kahnemans forskning visar att vår hjärna älskar att ta genvägar. Om vi inte kräver att den medvetet reflekterar, kommer den att föreslå det enklaste svaret för oss, och det enklaste svaret baseras inte sällan på ett linjärt resonemang. Som vi har sett, finns det många situationer i vår omvärld som inte kan modelleras med linjära samband. De beskrivs i stället av grafer som böjer sig mot oändligheten, kröker sig mot x-axeln eller uppvisar tvära kast. För att orientera sig i den här världen behöver man därför vara medveten om den potentiella kraften i kvadraten, det explosiva i den exponentiella tillväxten och den möjliga förekomsten av otippade tröskelpunkter. Livet, käre läsare, är nämligen inte linjärt.

Referenser och vidare läsning

Kahneman, Daniel (2011) Tänka, snabbt och långsamt, Månpocket Fakta

Goodrum, Will (2018) Simple, Attractive, and Wrong: An Introduction to Linearity Bias

de Langhe, Bart et. al. (2017) Linear Thinking in a Nonlinear World, Harvard Business Review

Ocean tipping points, http://oceantippingpoints.org/project-overview

Livet är inte linjärt