Grafberättelser
Vad är en grafberättelse?
En grafberättelse är en undervisningsrutin som kan användas på både högstadiet och gymnasiet för att utveckla elevernas kunskaper om grafer, samband och matematiska modeller. Idén kommer ursprungligen från den amerikanske matematikläraren Dan Meyer. Med utgångspunkt i korta filmer får eleverna använda grafer för att beskriva vardagliga fenomen. I den efterföljande diskussionen skapas ett naturligt behov av att införa matematiska begrepp som linjär, proportionalitet, exponentialfunktion och derivata.
Idén är enkel: Man visar eleverna en kort film som visar en händelse, till exempel ett glas som fylls med vatten, en bit lax som tillagas i ugnen, eller en gunga som svänger fram och tillbaka. Därefter får eleverna skissa en graf som beskriver händelsen, t.ex. hur de tror att vattnets höjd, laxens temperatur eller gungans hastighet förändras med tiden. Elevernas skisser blir utgångspunkt för en klassrumsdiskussion, som avslutas med att den korrekta grafen visas. Grafpapper att dela ut till eleverna kan hämtas här.
Grafberättelsefilmerna här på www.matemagi.com följer i regel samma mönster: Först visas en händelse. Därefter visas ett koordinatsystem som avslöjar vad det är eleverna förväntas rita en graf över. Är det hur vattnets höjd i glaset förändras med tiden? Eller kanske hur volymen förändras med höjden? Därefter får eleverna se händelsen igen, så att de ska kunna skissa sin graf. Vid behov kan man spola tillbaka och visa händelsen flera gånger. Till slut visas den korrekta grafen. Här nedanför ser du ett exempel.
Förslag till arbetsgång
Visa den första delen av filmen för eleverna. Pausa efter att koordinatsystemet har visats och förklara för eleverna att de ska rita en graf som beskriver händelsen. Berätta att de saknar en del information som de behöver för att kunna rita grafen. Det betyder att de kommer att behöva göra en del uppskattningar och antaganden. I grafberättelsen Glas här ovanför behöver de exempelvis uppskatta hur högt vattnet når i glaset.
Dela ut grafpapper eller låt eleverna själva rita ett tomt koordinatsystem i sina anteckningsböcker.
Starta filmen igen, så att eleverna får se händelsen ännu en gång, och ge eleverna tid att rita grafen.
Gå runt i klassrummet och följ elevernas arbete. Välj ut några grafer, som du vill jämföra i helklass.
Diskutera elevernas grafer i helklass. Det kan göras genom att några elever beskriver sina grafer muntligt, samtidigt som du ritar dem på tavlan, eller genom att eleverna kommer fram och ritar dem på tavlan. Dokumentkamera och projektor, eller ett digitalt system för inlämning, är andra möjligheter. Jämför elevernas grafer och hjälp dem att sätta ord på grafernas likheter och skillnader. Introducera samtidigt viktiga matematiska begrepp.
Låt eleverna revidera sin graf utifrån de intryck de tagit i diskussionen.
Starta videon igen och visa den korrekta grafen. Diskutera eventuella likheter och skillnader mellan den korrekta grafen och elevernas förslag.
Första gången
Första gången man arbetar med en grafberättelse är det bra att som lärare modella för eleverna hur man går till väga. Ett bra tillvägagångssätt är att spela en film som visar en händelse och sedan ”tänka högt” medan man skissar grafen, till exempel genom att visa hur man besvarar följande frågor:
I vilken punkt ska grafen börja?
”Från början finns det inget vatten i glaset. Vattnets höjd är alltså 0 cm, vid tiden 0 sekunder. Det betyder att grafen börjar i origo.”
I vilken punkt ska grafen sluta?
”I slutet är vattnets höjd 10 cm. Då har det gått 10 sekunder. Alltså slutar grafen i punkten (10, 10).”
Hur tror jag att grafen ser ut däremellan?
”Vattnet hälls med jämn hastighet i ett cylindriskt glas. Därför ökar också höjden i jämn hastighet. Det betyder att grafen är en rät linje.”
Nästa steg är att spela en liknande film och låta eleverna i par diskutera samma frågor. Därefter skissar varje par en graf. När eleverna är mer vana vid arbetssättet kan de få skissa sin graf enskilt och därefter jämföra sin graf med en kamrats.
Variation
Det finns mängder av sätt att variera arbetet med grafberättelser. I stället för att rita grafen som beskriver händelsen, kan eleverna till exempel få välja mellan fyra typgrafer och motivera sitt val. Det kan synliggöra vanliga missuppfattningar. I beskrivningen av respektive grafberättelse finns förslag till sådana grafer.
Man kan också följa upp grafberättelserna med utvidgande frågor. I exemplet med vatten som hälls i ett glas, skulle några sådana frågor kunna vara:
Vilken är grafens ekvation?
Hur ändras grafen om…
vattnet hälls i snabbare
vattnet pausas i några sekunder
glaset är högre
glaset har större diameter
Det går också att arbeta med en och samma grafberättelse i olika årskurser. På högstadiet kan eleverna t.ex. få beskriva hur en gungas hastighet förändras med tiden när den är i rörelse. På gymnasiet kan eleverna få i uppgift att finna funktionsuttrycket till den trigonometriska funktion som beskriver hastigheten som funktion av tiden.
Arbetet med en grafberättelse kan ha olika fokus. Ibland kan man som lärare vara intresserad av att eleverna skissar grafens form, utan att bry sig om någon gradering på axlarna. Man kan också välja att dela ut färdiga koordinatsystem med lämplig skala på axlarna eller låta eleverna själva sätta ut lämplig skala.
Varför grafberättelser?
Det finns flera skäl att arbeta med grafberättelser.
1. Genom att arbeta med grafberättelser kan eleverna få en känsla för hur grafer används för att beskriva vardagliga fenomen. Det kopplar matematiken till elevernas verklighet och låter dem se matematikens användbarhet.
2. I klassrumsdiskussionen av elevernas skisser skapas ett behov av att sätta ord på det eleverna har ritat. Det ger möjlighet att införa viktiga begrepp, t.ex. lutning, linjär, konstant, växande, avtagande osv. Det finns ett värde i att begreppen införs när det finns ett verkligt behov av dem; eleverna behöver dem för att kommunicera sina tankar. På gymnasiet kan man använda grafberättelserna för att diskutera mer avancerade begrepp, som derivata, inflexionspunkt och maximipunkt.
3. Efter att ha arbetat med flera olika grafberättelser, blir det naturligt att jämföra graferna och kategorisera dem. Det gör grafberättelser till ett utmärkt verktyg för att introducera och namnge olika typer av samband, t.ex. linjära samband, proportionaliteter, periodiska samband och exponentiella samband.
4. På högstadiet är det vanligt att man arbetar främst med linjära samband. Med hjälp av grafberättelser kan man ge eleverna erfarenhet av att det finns andra typer av samband, vars grafer inte är räta linjer.
5. Att skissa grafer, t.ex. hur vattnets höjd i ett glas ökar med tiden, är en vanligt förekommande uppgift i många matematikläromedel på högstadiet. Att låta eleverna se en film av händelsen, gör den mer konkret och kan göra det enklare för eleverna att utföra uppgiften. Dessutom blir kopplingen mellan händelse och graf starkare.