Sophie Germain – en självlärd rebell

Inledning

Den 14 juli år 1789 stormades fängelset Bastiljen i centrala Paris. Stormningen blev startskottet för den franska revolutionen, som ledde till radikal social förändring men också till årtionden av oroligheter.
    På Rue Saint Denis 336, bara fyra kilometer från Bastiljen och några hundra meter från floden Seine, bodde vid den här tiden en 13-åring flicka, Sophie Germain. De våldsamma sammandrabbningarna på gatorna i Paris hindrade henne från att gå ut. För att lindra sin rädsla och få tiden att gå tog hon sin tillflykt till sin pappas bibliotek. Där, uppkrupen i en fåtölj med Jean Étienne Montuclas bok Histoire des Mathématiques i knät, upptäckte hon sin kärlek till matematiken.

Stormningen av Bastiljen - Jean-Pierre Houël

En ovanlig flicka

Sophie Germain föddes den 1 april år 1776 i Paris, som mellandotter i en välbärgad köpmansfamilj. Från matematikern Guglielmo Libris dödsruna från år 1832 vet vi att Germains intresse för matematiken väcktes när hon läste om den grekiske matematikern Arkimedes död. I Montuclas bok Histoire des Mathématiques berättas att en romersk soldat, under erövringen av Arkimedes hemstad Syrakusa, beordrade matematikern att följa med. Men Arkimedes var så uppslukad av det geometriska problem som han ritat upp i sanden att han vägrade att lyda soldatens order. ”Rubba inte mina cirklar!” blev Arkimedes sista ord innan svärdet genomborrade honom.

Death of Archimedes av Thomas Degeorge

Historien om Arkimedes gjorde stort intryck på Germain. En vetenskap som så fullständigt kan trollbinda en person måste vara värd att studera, resonerade hon. Men så vitt vi vet gick Sophie inte i skola, och till skillnad från andra kvinnliga matematiker – som Hypatia, Maria Agnesi och Émilie du Châtelet – hade hon heller ingen privatlärare. Sophie tillägnade sig alltså matematiken på egen hand, genom att studera böckerna i sin fars bibliotek.
     Familjen såg dock inte med blida ögon på Sophie Germains nyvunna intresse. Vetenskap, i synnerhet matematik, ansågs inte vara en lämplig sysselsättning för en flicka. En kvinnas naturliga plats var i hemmet, där hon skulle anta rollen som maka och mor. Matematiska tankar skulle kunna äventyra hennes mentala och reproduktiva hälsa. Familjen försökte därför stävja sin excentriska dotters matematiska intresse. När de uppdagade att hon studerade på nätterna konfiskerade de hennes ljus och kläder och underlät att värma upp hennes rum. Men Sophie smugglade undan ljus och satt böjd över sina böcker trots den bitande kylan. En morgon upptäckte familjen henne inlindad i filtar, med bläcket fruset i sin behållare och matematiska verk spridda omkring sig. Det fick dem att ge efter. Efter den dagen stöttade familjen Sophies matematiska studier.

Sophie Germain

De nattliga studierna var inte det enda beviset på Sophie Germains målmedvetenhet. När hon upptäckte att centrala verk av matematikerna Isaac Newton (1642–1727) och Leonhard Euler (1707–1783) ännu inte hade översatts till franska, lärde hon sig latin för att kunna läsa dem. Och när den nystartade skolan för matematiker och ingenjörer – École Polytechnique – inte mottog kvinnor, bestämde hon sig för att anta en tidigare students namn för att kunna tillskansa sig föreläsningsanteckningar från bl.a. Joseph-Louis Lagranges (1736–1813) kurser i differential- och integralkalkyl. Samma students namn, Auguste LeBlanc, använde hon för att skicka in sina egna iakttagelser om kursen till professor Lagrange. Det var ett djärvt drag. Visserligen uppmanades studenterna att skicka in sina observationer efter avslutad kurs, men Sophie var ju inte någon inskriven student och dessutom en kvinna! Lagrange var så imponerad av LeBlancs anteckningar, att han bad att få träffa den unge matematikern. På så vis fick han veta att LeBlanc i själva verket var en ung, självlärd kvinna vid namn Sophie Germain.

École Polytechnique i Paris. Kvinnor fick antas som studenter där först år 1972. Illustration: Georges Stein

Ryktet om Sophie Germains matematiska geni spred sig i de franska vetenskapliga kretsarna och drog till sig både förvåning och beundran. Flera medlemmar av akademin i Paris hjälpte henne att få tag i böcker, så att hon lättare skulle kunna studera på egen hand. Men även om några försökte bidra till hennes utbildning var det svårt för Germain att på egen hand, utan någon att fråga eller diskutera med, skaffa sig en heltäckande matematisk utbildning. Det hon sökte allra mest – ett vetenskapligt sammanhang, matematiska diskussioner och återkoppling på sitt arbete – var det under hela hennes liv få matematiker som bidrog med.

Talteori och första breven till Gauss

År 1798, när Sophie Germain var 22 år, publicerade matematikern Adrien-Marie Legendre (1752–1833) sin bok Essai sur la théorie des nombres. Där sammanfattade han det mesta som var känt om talteori vid den här tiden. Texten väckte Sophies intresse för talteori, och när Carl-Friedrich Gauss (1777–1855) några år senare publicerade sitt stora verk i ämnet, Disquisitiones arithmeticae, var hon en av de första att studera och behärska dess innehåll. Hon gjorde egna upptäckter, hittade alternativa bevis och gjorde utvidgningar av Gauss resultat.
Hon längtade efter att få återkoppling på sitt arbete och tog mod till sig att skriva till den tyske matematikern, som bara var ett år yngre än hon själv. Av rädsla för att Gauss inte skulle ta henne på allvar om han visste att hon var kvinna, använde hon återigen sitt alias och undertecknade brevet, LeBlanc.

”Paris den 21 november 1804

Min herre, din bok Disquisitiones Arithmeticae har länge varit föremål för min beundran och mina studier. /.../

Jag tar mig friheten att överlämna dessa uppsatser till Er bedömning, i förvissning om att Ni med Era åsikter kommer att upplysa en entusiastisk amatör inom den vetenskap som Ni odlar med sådan lysande framgång. /.../

Tro mig, min herre, jag skulle uppskatta ert omdöme, och ta emot min försäkran om den djupaste respekt

från er mycket ödmjuke tjänare
och mycket flitige läsare
Le Blanc”

Gauss gladde sig åt brevet från LeBlanc. I december år 1805 skrev han i ett brev till astronomen Heinrich Wilhelm Olbers:

 ”Nyligen hade jag nöjet att få ett brev från en ung matematiker från Paris, Le Blanc, som entusiastiskt bekantar sig med högre aritmetik, och har gett mig prov på att han har trängt djupt in i min Disquis. Arith.”

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Till Germain svarade dock Gauss först sex månader senare, i juni 1805. Han bad tusen gånger om ursäkt för att hans svar hade dröjt så länge och förklarade att hans astronomi-efterforskningar tog så mycket tid att han inte kunde ägna sig åt talteori för tillfället. Kanske var det också därför som Gauss inte kommenterade allt det arbete som Germain hade bifogat i sitt brev, utan bara kortfattat visade uppskattning för ett av de bevis som hon hade skickat.
Mellan åren 1804 och 1809 skickade Germain åtta brev till Gauss och fick (så vitt vi vet) fyra svar. När man läser deras korrespondens ser man att de utbytte idéer, bevis och böcker. Men medan Germain skickade sida efter sida av matematiska beräkningar och bevis, svarade Gauss för det mesta kortfattat. Den utförliga återkoppling på sitt arbete, som Germain så hett eftertraktade, fick hon inte.

År 1806 invaderade den franska armén staten Preussen. Staden Brunswick, där Gauss bodde, belägrades. Sophie Germain blev orolig att Gauss skulle gå samma öde till mötes som Arkimedes och tog kontakt med general Joseph-Marie Pernety, en bekant till familjen som ledde styrkorna i området. Hon bad honom att kontrollera att Gauss var i säkerhet. När en fransk soldat knackade på Gauss dörr för att erbjuda honom beskydd på uppdrag av en viss Sophie Germain, stod Gauss helt oförstående. Han kände bara en kvinna i Paris och hon hette inte Sophie Germain. Strax därefter skrev Sophie ett brev till Gauss där hon avslöjade sin riktiga identitet:

”Detta föranleder mig att bekänna för er att jag inte är så helt okänd för er som ni tror, men att jag, av rädsla för det löje som är förknippat med titeln lärd kvinna, en gång lånade herr Le Blancs namn för att skriva till er och överlämna anteckningar, som utan tvivel inte förtjänade det överseende med vilket ni vänligen svarade.

/…/

Jag hoppas att den egendomlighet som jag nu erkänner inte kommer att beröva mig den ära ni har skänkt mig under ett lånat namn och att det inte hindrar er från att ägna några ögonblick åt att skriva till mig.

Den här gången svarade Gauss med vändande post:

 ”Men hur skall jag kunna beskriva för er min beundran och förvåning över att se min uppskattade korrespondent herr Leblanc förvandlas till denna berömvärda person, som utgör ett så lysande exempel på något jag knappt kan tro existerar. /…/

[N]är en person av det kön, som på grund av vår moral och våra fördomar måste möta oändligt många fler hinder och svårigheter än män för att sätta sig in i denna kniviga vetenskap, ändå kan övervinna dessa hinder och tränga in i det mest fördolda, måste hon utan tvekan ha det ädlaste mod, extraordinära talanger och ett överlägset geni.”

Denna gång gav han också utförlig återkoppling – både ris och ros – på Germains bifogade matematiska arbeten. Han avslutade brevet med en uppmaning:

”Fortsätt, mademoiselle, att glädja mig med Er vänskap och Er korrespondens, som är min stolthet, och var förvissad om att jag alltid kommer att hålla den högsta aktning för er.”

---

Matematisk fördjupning: En sats om triangeltal

Som ett exempel på Germains talteoretiska insikter ska vi studera ett odaterat manuskript, där hon löser ett problem som Joseph-Louis Lagrange formulerat. ”Lagrange har bett mig att demonstrera” skriver Germain, ” att ett godtyckligt triangeltal i kvadrat är lika med summan av de n första kubtalen.”

Bara den första delen rör den aktuella satsen. Den andra delen rör andra iakttagelser som Germain gör om triangeltal. Notera särskilt hennes underbara notation för triangeltal och kvadrattal. (Ur Alexanderson, Gerald, 2012)

Låt oss se om vi kan följa Germains fåordiga bevis. Men innan dess behöver vi fastställa vad som menas med ett triangeltal. Ett tal T är ett triangeltal om vi av T stycken prickar kan forma en triangel (se nedan). De första triangeltalen är 1, 3, 6, 10 och 15.

De fem första triangeltalen.

Om vi betecknar det n:te triangeltalet med Tn, säger Lagranges påstående att

T_n² = 1³ + 2³+³³ + ... + n³         (1)

I manuskriptet skriver Germain att hon funnit att detta påstående är liktydigt med att visa att

n² + n 2 ² − n² − n 2 ² = n⁴ + 2n³ + n² 4 − n⁴ − 2n³ + n² 4 = 2n³ + 2n³ 4 = n³

Och där är – enligt Germain – beviset klart!
Förvirrad? Du är inte ensam. Germain utelämnar flera steg i det matematiska resonemanget till läsaren. Det är faktiskt ett slags modus operandi för hela hennes matematiska produktion. Så låt oss fylla i detaljerna.
Vi börjar med att skriva vänsterledet i ekvation (1) som en teleskopsumma, alltså en summa där flera av termerna parvis tar ut varandra:

(T_n)² = 
= (T_n² − T_n − 1²) + (T_n − 1² − T_n − 2²) + (T_n − 2² − T_n − 3²) + … + (T₂² − T₁²) + T₁²

Därefter utnyttjar vi att det n:te triangeltalet är lika med

$\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}$

Då kan vi skriva uttrycket innanför den första parentesen i teleskopsumman, som

$T_n²-T_{n-1}²=\frac{n^2+n}{2}-\frac{n^2-n}{2}$

Detta är enligt Germains beräkningar lika med n^3. Det innebär i sin tur att uttrycket innanför den andra parentesen i teleskopsumman är lika med (n – 1)^3, att uttrycket innanför den tredje är lika med (n – 2)^3, osv. Det ger

T_n² = n³ + (n − 1)³ + (n − 2)³ + ... + 2³ + (T₁)²

Noterar vi slutligen att

(T₁)² = 1² = 1³

har vi att

T_n² = n³ + (n − 1)³ + (n − 2)³ + ... + 2³ + 1³

vilket var precis det vi ville visa.  

Den andra delen av det korta manuskriptet ägnar Germain åt att göra en annan iakttagelse om triangeltal. Notera att hon använder trianglar och kvadrater för att representera triangeltal respektive kvadrattal. I Germains notation är △a det a:te triangeltalet, dvs. T_a, och ☐a är det a:te kvadrattalet, dvs. a^2. Kan du nu tolka hennes påstående?

Elasticitet och ett pris

Den 9 november 1799 tog Napoléon Bonaparte makten i Frankrike genom en stadskupp. Under hans ledning satsades det på vetenskapen i Frankrike. Flera vetenskapsmän adlades, däribland matematikerna Lagrange och Laplace. Kvinnor, däremot, hade ingen plats i Napoleons vision om en lärd nation. ”Vad vi begär av utbildning är inte att lära flickor att tänka, utan att lära dem att tro”, ska han ha sagt om behovet av en statligt finansierad skola för flickor.
    I februari år 1809 bjöds den tyske fysikern Ernst Chladni (1756–1827) in för att demonstrera ett experiment för Napoléon. Chladni hällde ett tunt lager sand på en metall- eller glasplatta och drog sedan en stråke längs med plattans kant. De resulterande vibrationerna i plattan skapade inte bara ton utan också intrikata mönster i sanden. Napoléon bestämde sig för att utlysa ett pris till den som matematiskt kunde förklara Chladnis sandfigurer.

Ernst Chladni (1756-1827)

När Chladni drog en stråke längs plattans kant skapades mönster i sanden.

Klicka på knapparna här nedanför för att se två olika videor som illustrerar Chladnis experiment.

Flera matematiker, däribland Daniel Bernouilli (1700–1782), Jean le Rond d’Alembert (1717–1783) och Leonhard Euler (1707–1783), hade lagt grunden till den teori för elasticitet som existerade vid tävlingens utlysning år 1809. De hade lyckats matematiskt beskriva en vibrerande sträng, men ingen hade kunnat formulera en matematisk teori för tvådimensionella vibrerande ytor. Det här var ett problem som krävde omfattande matematiska kunskaper i flera områden och många av de mest erfarna matematikerna ansåg att problemet var för svårt att lösa med tillgängliga metoder.
När tävlingens slutdatum passerats hade bara ett bidrag lämnats in – Sophie Germains. Germain hade gjort ett i flera avseenden gott arbete, men hon hade gjort ett matematiskt misstag när hon formulerade sin ekvation för att beskriva vibrationerna i den tvådimensionella ytan. Inget pris delades ut.
En av domarna i tävlingen, Lagrange, visade vilket misstag Germain begått och hur hennes ekvation borde ha sett ut under hennes antaganden. Det gav Germain något att arbeta vidare på när tävlingen förnyades i januari år 1812.

Sophie Germains beskrivning av vibrationerna i en plan yta är en fjärde ordningens differentialekvation, där N är en konstant.

Inte heller denna gång delades något pris ut, men Germains bidrag var tillräckligt bra för att få ett hedersomnämnande. När tävlingen förnyades en tredje gång förtydligades att ett vinnande bidrag skulle demonstrera hur väl den matematiska teorin stämde överens med experiment. Sophie köpte in dyrbara plattor i glas och metall, och utförde – utan vana eller utbildning – flera experiment. När hon lämnade in sitt bidrag till den tredje tävlingen var hon 39 år gammal och hade ägnat flera år av sitt liv åt elasticitetsteorin. Några veckor senare, den 26 december år 1815 beslutade vetenskapsakademin att ge henne priset.

Sophie Germains egna skisser av Chladnis sandfigurer.

Många var de som samlats i Institut de Frances lokaler i Paris i januari år 1816 för att få se Sophie Germain ta emot det pris som aldrig tidigare förärats en kvinna i Frankrike. Men de blev besvikna. Sophie Germain dök aldrig upp. En del menar att det var för att hon var blyg och ville undvika uppmärksamhet. Men anledningen kan lika gärna ha varit att hon inte hade fått någon biljett för att delta i sin egen ceremoni! I arkiven har man nämligen funnit ett brev från vetenskapsakademins sekreterare, som två dagar före ceremonin ber om ursäkt för att biljetterna fortfarande inte har kommit fram.
Trots att den franska vetenskapsakademin hade tilldelat Germain priset ville de inte publicera hennes arbete. De ansåg att hennes ekvation inte var fullgott motiverad och att överensstämmelsen med experiment inte var tillräckligt bra. Akademins beslut måste ha varit en stor besvikelse för Sophie. Mer än ära och berömmelse trånade hon ju efter att få vara en del av den vetenskapliga gemenskapen, att få bli publicerad, läst och diskuterad. Den önskan drev henne att år 1821, för egna pengar, publicera en sammanfattning av sitt arbete om elastiska ytor: Recherches sur la théorie des surfaces élastique.

De kommande åren fortsatte Germain sina undersökningar och experiment om elastiska ytor och skickade in flera texter till Akademin. Men trots att Akademin hävdade att de avsatt en arbetsgrupp som skulle läsa hennes arbeten, finns det ingenting i arkiven som tyder på att hennes texter någonsin lästes eller diskuterades i Akademin. Sophie led av att vara så utstött ur den vetenskapliga gemenskapen. Till sin vän Guglielmo Libri skrev hon år 1826: 

”Jag känner mig nästan lika främmande för den vetenskapliga rörelsen som om jag bodde i ett annat land. (...) Ni skulle kanske inte tro att jag, mitt i Paris, inte skulle klara av att få träffa en herr Savart som har utfört tusen märkliga experiment. Han visar dem för människor som inte kan göra någonting med dem. De här sakerna tillhör min domän och det är bara för mig som de förblir dolda. Detta är damernas privilegium, de får komplimanger men inget som verkligen kan komma dem till gagn.”

                                                           Ur Boyé, Anne (2017)

Fermats stora sats

Den sjunde, åttonde och nionde boken i Euklides Elementa (ca 300 f.Kr) handlade om talteori. Det var också temat i Diophantos bok Arithmetica på 200-talet e.Kr. Sedan dess hade inte mycket hänt på talteorifronten förrän den franske matematikern Pierre de Fermat (1607–1665) gjorde ett antal iakttagelser om egenskaper hos tal. En av dessa iakttagelser krafsade han ner i marginalen till sin upplaga av Diophantos Arithmetica:

”Det är omöjligt att dela en kub i två kuber, eller en fjärdepotens i två fjärdepotenser, eller i allmänhet någon potens större än två i potenser av samma grad.”

Fermat menade alltså att det inte kunde finnas några heltalslösningar x, y, z skilda från noll till ekvationen

xⁿ + yⁿ = zⁿ

när n är ett heltal större än 2. (För n = 2 är ju likheten Pythagoras sats, som vi vet har oändligt många lösningar.) Till detta hade han funnit ett vackert bevis, hävdade han, men bokens marginal var för liten för att rymma det.
     Fermats gåtfulla anteckning i marginalen skulle inspirera matematiker under flera hundra år att försöka bevisa hans förmodan, som kom att kallas Fermats stora sats. En av dem var Sophie Germain. Hon fick idéer om hur satsen skulle kunna bevisas när hon läste Gauss verk om kongruenser år 1801. Redan i sitt första brev till den tyske matematikern år 1804 skickade hon med ett resonemang som hon trodde visade Fermats stora sats för heltalsexponenter n = p – 1, där p är ett primtal av formen 8k + 7. Men Gauss kommenterade inte beviset i sitt svar och dagens matematiker har funnit att det inte är komplett.
     Femton år senare hade Sophie inte slutat tänka på Fermats stora sats. I ett brev till Gauss daterat 12 maj 1819 skrev hon att hon under en längre tid arbetat med teorin för vibrerande ytor men trots det aldrig upphört att tänka på talteori i allmänhet och på Fermats stora sats i synnerhet. Den franska vetenskapsakademin hade år 1815 utlyst ett pris till den som kunde bevisa Fermats stora sats – ett pris som förnyades år 1818 med deadline år 1820. Planerade Sophie att skicka in ett bidrag till tävlingen? Var det därför hon skrev till Gauss, för att få hans omdöme och expertis?

Brev från Germain till Gauss 1819. Det inleds med orden: ”Voice ce que j’ai trouvé” – Det här är vad jag har funnit. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086009001347#fig3

Det brev som Sophie skickade till Gauss år 1819 förblev oupptäckt fram till år 2005 då det hittades i arkiven i Göttingen. Bifogat i brevet hittade man åtskilliga sidor med matematisk text, som visade att historien om Sophie Germains bidrag till matematiken måste skrivas om. Den här gången hade Germain nämligen inte bara försökt formulera ett bevis för Fermats stora sats för en viss typ av exponenter – den här gången hade hon formulerat en plan som skulle bevisa satsen i sin helhet.
De matematiker som i modern tid gått igenom Sophies arbete ser att hennes plan inte lyckades. Det är inte förvånande. Fermats stora sats bevisades slutgiltigt först år 1995, omkring 350 år efter att den först formulerades av Fermat. Den som slutligen betvingade satsen var den brittiske matematikern Andrew Wiles, och han gjorde det med långt mer avancerat matematiskt maskineri än vad Germain hade till sitt förfogande i början av 1800-talet. Men Germains anteckningar visar att hon var den första som formulerade en heltäckande plan för att bevisa Fermats stora sats. Hon bevisade ett specialfall av satsen för samtliga exponenter mindre än 100 och hon bevisade resultat i talteori som andra matematiker slog fast först många år senare.

---

Matematisk fördjupning: Germains plan för att bevisa Fermats sista sats

När Germain började arbeta med Fermats sista sats hade Euler bevisat satsen för exponenten n = 3 (även om beviset i dag anses ofullständigt) och Fermat själv hade bevisat satsen för n = 4. En naturlig fortsättning hade varit att försöka bevisa satsen för någon annan specifik heltalsexponent, t.ex. n = 5. Men Sophie Germain hade högre ambitioner. Hon ville försöka bevisa satsen i sin helhet. Låt oss titta närmare på hennes plan.

Det första vi behöver notera är att det räcker att bevisa Fermats stora sats för udda primtalsexponenter p.

Bevis: Vi delar upp beviset i två fall.

Fall 1: Antag att exponenten n är delbar med ett udda primtal p. I så fall kan vi skriva n = p ∙ q och göra omskrivningen:

xⁿ + yⁿ = zⁿ
x^p ∙ q + y^p ∙ q = z^p ∙ q
(x^q)^p + (y^q)^p = (z^q)^p

Om vi tillåter oss att använda samma variabler kan vi alltså reducera den ursprungliga ekvationen till en motsvarande ekvation med exponenten p:

x^p + y^p = z^p

Raderna här ovanför visar att om ekvationen x^n + y^n = z^n har en lösning, så har även ekvationen, x^p + y^p = z^p, en lösning. Det är ekvivalent med det kontrapositiva påståendet: Om ekvationen x^p + y^p = z^p inte har en lösning, så har heller inte ekvationen x^n + y^n = z^n någon lösning. För att bevisa Fermats stora sats för exponenten n, räcker det alltså att visa den för den udda primtalsexponenten p.

Fall 2: Antag att n inte är delbart med ett udda primtal p. I så fall är n en potens med basen 2 och eftersom n > 2 är n därmed delbart med 4. Enligt samma resonemang som ovan, reduceras då beviset av satsen för exponenten n till beviset av satsen för n = 4, ett fall som Fermat redan bevisat.

Germains andra drag var att visa att om vi till en udda primtalsexponent p kan hitta ett hjälpprimtal q som uppfyller vissa villkor, så kommer hjälpprimtalet q att dela något av talen x, y, z.
För att beskriva vilka villkor som Germain krävde att hjälpprimtalet q måste uppfylla, låter vi primtalsexponenten vara p = 3 och hjälpprimtalet vara q = 7. I tabellen här nedanför har vi listat de nollskilda möjliga resterna vid division med 7. På rad 2 upphöjer vi dessa rester till exponenten p = 3, och på rad 3 räknar vi dessa potenser modulo q = 7.

Vi ser att resterna på den sista raden i tabellen inte är några konsekutiva tal. Det, visade Germain, är tillräckligt för att vi ska kunna kan dra slutsatsen att om ekvationen x^3 + y^3 = z^3 har en lösning, så måste något av talen x, y, z i lösningen vara delbart med hjälpprimtalet q = 7. 

Germains tredje drag var att försöka bevisa att det till varje udda primtalsexponent p finns oändligt många hjälpprimtal q som uppfyller villkoren vi undersökte här ovanför. I så fall skulle det finnas oändligt många primtal q som dividerar ett av talen x, y och z (dock inte nödvändigtvis samma tal). Betraktar vi mängden av alla hjälpprimtal som dividerar x, mängden av alla hjälpprimtal som dividerar y och mängden av alla hjälpprimtal som dividerar z, så måste då åtminstone en av dessa mängder innehålla oändligt många element. Men det innebär att ett av talen x, y och z är en produkt av oändligt många primtal – en omöjlighet. Sophie insåg att den motsägelsen innebar att det inte kunde finnas någon lösning x, y, z till Fermats ekvation för exponenten p.
Germains plan var både storslagen och genialisk, men den var svår att genomföra. I sitt brev till Gauss år 1819 medgav hon att hon än så länge inte lyckats påvisa existensen av oändligt många hjälpprimtal q, ens till en enda exponent p. I ett senare brev till Adrien-Marie Legendre bevisade hon att det för p = 3 bara existerade två möjliga hjälpprimtal q, nämligen q = 7 och q = 13. Även om hennes plan möjligtvis gick att genomföra för några exponenter, så var den alltså inte möjlig att genomföra för p = 3.
Sophies plan var dömd att misslyckas och hon visste om det. Kanske var det därför som hon – såvitt vi vet – inte skickade in något bidrag till akademins utlysta tävling. Men hennes arbete var inte förgäves. På vägen hade hon formulerat flera resultat som det skulle dröja årtionden för andra matematiker att bevisa. Dessutom bevisade hon den sats som i dag bär hennes namn, Sophie Germains sats, som Legendre publicerade i andra upplagan av sin Théorie des nombres år 1825 under Germains namn.
Sophie Germains sats säger att om man kan hitta ett enda hjälpprimtal q, som uppfyller liknande villkor som dem vi undersökte i tabellen ovan, så kommer exponenten p (inte q, som vi utnyttjade tidigare) att dividera något av talen x, y och z. Förekomsten av ett enda sådant hjälpprimtal visar alltså att om det finns någon lösning till ekvationen, x^p + y^p = z^p, så måste exponenten p dela något av talen x, y eller z. Det verkar kanske inte så märkvärdigt, men om vi låter cirkeln här nedanför representera alla potentiella lösningar till ekvationen x^p + y^p = z^p, så innebär det att vi kan utesluta alla lösningar i det vita fältet, nämligen de lösningar där inget av talen x, y och z är delbara med p. Denna eliminering av lösningar till ekvationen kallas i dag Fall 1 av Fermats stora sats och är ett steg på vägen mot att visa att ekvationen helt saknar lösningar.

Sophie bevisade inte bara satsen som bär hennes namn. Hon hittade också hjälpprimtal q till alla p < 100. På detta sätt bevisade hon Fall 1 av Fermats stora sats för alla dessa exponenter (*). Sedan dess har flera matematiker följt i Germains fotspår. År 1908 använde Dickson hennes sats för att visa Fall 1 för alla primtalsexponenter p < 6 857, och så sent som år 1985 användes en utvidgning av satsen för att visa Fall 1 för oändligt många primtalsexponenter p.

En ny bild av hennes eftermäle

Vi vet inte hur Sophie Germain såg ut. Det enda avbildning som finns av henne är en så kallad dödsmask, en avgjutning av hennes ansikte, från vilken denna byst skapades av konstnären Zechariah Astruc. Den är i dag placerad vid gymnasiet som bär hennes namn, Lycée Sophie Germain.

Sophie Germain gifte sig aldrig och fick inga egna barn. Av allt att döma vigde hon hela sitt vuxna liv åt matematiken. Gauss verkade för att universitetet i Göttingen skulle utnämna henne till hedersdoktor i matematik, men Germain hann aldrig motta utmärkelsen. År 1829 drabbades hon av bröstcancer och måndagen den 27 juni 1831 dog hon.  
Matematikhistoriker har länge trott att Sophie Germains eftermäle bara varit en enda viktig sats – den som bär hennes namn. ”Resten av hennes arbete framstår som slingrande rörelser hos en lätt farkost i okända vatten” skrev matematikerna Bucciarelli & Dworsky år 1980 (s. 120). I dag vet vi bättre. Nya brev och manuskript har gett oss en mer fullvärdig bild av Sophie Germains matematiska bidrag. De har visat att Germain var en av de första matematikerna som på djupet förstod Gauss talteoretiska verk Disquisitiones arithmeticae. Hon var den första att tillhandahålla en plan för att bevisa Fermats sista sats och ge en partiell lösning för en stor klass av exponenter. Hon var dessutom den första kvinnan som fick att motta ett prestigefyllt pris i matematik. Detta trots att hon på många sätt hölls utanför den vetenskapliga gemenskapen. Jag kan inte låta bli att tänka på vad hon hade kunnat uppnå med samma utbildning, samma kollegiala utbyte och samma uppmuntran som sina manliga kollegor. 

---

(*)     I mycket litteratur om Sophie Germain kan man läsa att hon bevisade Fermats stora sats för alla p < 100 samt att hon bevisade den för alla så kallade Sophie Germain-primtal, nämligen primtal p som uppfyller att 2p + 1 också är ett primtal. Det är, som vi har sett, inte sant. Sophie Germain bevisade Fall 1 av Fermats stora sats för alla primtalsexponenter exponenter p < 100 och för alla Sophie Germain-primtal.

Referenser

Alexanderson, Gerald L. (2012) About the cover: Sophie Germain and a problem in number theory, Bulletin of the American Mathematical Society, Volym 49, Nummer 2, s. 327–331

Bucciarelli, Louis L. & Dworsky, Nancy (1980) Sophie Germain, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht

Boucard, Jenny (2020) Arithmetic and Memorial Practices by and around Sophie Germain in the 19th Century. Ur Eva Kaufholz-Soldat & Nicola Oswald. Against All Odds. Women’s Ways to Mathematical Research Since 1800, Springer-Verlag, s.185-230 https://shs.hal.science/halshs-03195261f

Boyé Anne (2017) Sophie Germain, une mathématicienne face aux préjugés de son temps. Bulletin de l'APMEP. N° 523, s. 231-243. https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Sop-Germain.pdf

Del Centina, Andrea (2008) Unpublished manuscripts of Sophie Germain and a revaluation of her work on Fermat’s Last Theorem. Archive for History of Exact Sciences, 62:349–392

Del Centina, Andrea & Fiocca, Alessandra (2012) The correspondence between Sophie Germain and Carl Friedrich Gauss. Archive for History of Exact Sciences, 66:585–700 DOI 10.1007/s00407-012-0105-x

Gray, Mary W. (2005) Sophie Germain. Ur Case, Bettye Anne & Leggett, Anne M. (red.) Complexities: Women in Mathematics, Princeton University Press.

Jaeger, Lars (2023) Women of Genius in Science. Springer Publishing

Kagele, Hanna (2018) Sophie Germain, The Princess of Mathematics and Fermat’s Last Theorem. Cap Stone Day Abstracts. Georgia State University https://www.gcsu.edu/sites/files/page-assets/node-808/attachments/kagele.pdf

Laubenbacher, Reinhard & Pengelley, David (2010) “Voici ce que j’ai trouvé:” Sophie Germain’s grand plan to prove Fermat’s Last Theorem, Historia Mathematica 37, s. 641–692

N. Mackinnon (1990) Sophie Germain, or, Was Gauss a Feminist? The Mathematical Gazette, 74, 470, s. 346–351

Musielak, Dora (2020) Sophie Germain. Revolutionary Mathematician. Andra upplagan. Springer Nature Switzerland

Perl, Teri (1978) Math Equals. Biographies of Women Mathematicians. Addison-Wesley Publishing Company.

Persson, Per-Eskil (2021) Sophie Germains identitet. Nämnaren, nr 3, s. 53-55 Göteborgs Universitet

Riddle, Larry (2009) Sophie Germain and Fermat's Last Theorem, Agnes Scott College https://mathwomen.agnesscott.org/women/germain-FLT/SGandFLT.htm

Sampson, J.H. (1990) Sophie Germain and the Theory of Numbers. Archive for History of Exact Sciences, Vol. 41, No. 2, s. 157-161 https://www.jstor.org/stable/41133883

Wikipedia contributors. (2024, September 13). Safe and Sophie Germain primes. På Wikipedia, The Free Encyclopedia. Läst 07:21, September 15, 2024, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Safe_and_Sophie_Germain_primes&oldid=1245529933