Visste du att en cirkels omkrets alltid är ungefär tre gånger så lång som dess diameter? Det sambandet är magiskt nog lika sant för den gigantiska fullmånen på natthimlen som för den lilla punkten som avslutar den här meningen.

Ska man vara noga är omkretsen av en cirkel lite mer än tre gånger så lång som diametern, närmare bestämt ungefär 3,14 gånger så lång. Talet 3,14 känner du säkert igen. Det är matematikens kanske mest kända tal, π.
Talet π har genom historien visat sig vara överraskande svårt att förstå sig på. Det har nämligen oändligt många decimaler och att bestämma dem har varit en sport för matematiker i tusentals år. Låt mig ta dig med på en resa bland cirklar, decimaler och världsrekord i envishet.

Månghörningarnas mästare

Den förste som metodiskt undersökte förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter var den grekiske matematikern Arkimedes (ca 250 f.Kr). Han insåg att han kunde uppskatta en cirkels omkrets genom att beräkna omkretsen av en lämplig månghörning. Hade månghörningen bara tillräckligt många hörn, resonerade Arkimedes, skulle dess omkrets skilja sig marginellt från cirkelns.

Genom att beräkna omkretsen av två regelbundna 96-hörningar – en omskriven och en inskriven i cirkeln – lyckades han dra slutsatsen att cirkelns omkrets måste vara mellan 3,1408 och 3,1428 gånger så lång som diametern. Arkimedes lyckades alltså stänga in talet π mellan två tal som båda började på 3,14. Därmed skrev han in sig i historieböckerna som den som först bestämde talet π till två korrekta decimaler: π » 3,14.

Arkimedes månghörningsidé var inte bara ett stort matematiskt genombrott. Det var också en uppvisning i räknekonst och envishet. Inte nog med att Arkimedes inte hade tillgång till någon räknare – han hade inte ens tillgång till ett effektivt talsystem! Idén till vårt talsystem låg nämligen fler hundra år in i framtiden, och Arkimedes fick hanka sig fram med det joniska talsystemet (*). Att beräkna omkretsen av en 96-hörning med hjälp av det, är lite som att försöka såga ner ett träd med en brödkniv. Vi har hans vassa intellekt att tacka för att han lyckades.

*Utdrag ur Rhindpapyrusen ca 1600* *f.Kr. Cirkelns area approximeras som 3,16 * r².*

I Egypten och områdena kring nuvarande Irak, har man funnit matematiska texter som visar att man redan 1 400 år före Arkimedes kände till att en cirkels omkrets var lite mer än tre gånger så lång som dess diameter, och att dess area var lite mer än tre gånger så stor som dess radie i kvadrat. De insikterna var alltså inte nya. Det Arkimedes bidrog med var att ringa in talet π med en aldrig tidigare skådad precision (**).

Arkimedes på export

Arkimedes metod för att bestämma talet π gick på export till andra delar av världen. Tre hundra år senare bestämde till exempel den grekiske astronomen Ptolemaios talet π till tre korrekta decimaler med hjälp av en 360-hörning. År 480 bestämde den kinesiske matematikern Zu Chongzhi sju decimaler med hjälp av en 24 576-hörning, och nästan tusen år senare använde den persiske matematikern al-Kashi en månghörning med hisnande 3 × 2^28 sidor för att bestämma 16 decimaler. Den bedriften trumfades först kring år 1600 då Ludolph van Ceulen beräknade π till 35 decimaler med hjälp av en 2^62-hörning – alltså en månghörning med svindlande 4 miljarders miljarder sidor. Han var så stolt över sin bedrift att han bad att få decimalerna inristade på sin gravsten.

En oändlig indisk serie

Vid den här tiden började matematiker förstå att man kramat ur det sista ur Arkimedes månghörningsmetod. För att avtäcka fler decimaler i π:s gåtfulla decimalutveckling krävdes en ny idé. Det europeiska matematiker inte visste, var att den idén redan hade kläckts flera hundra år tidigare av den indiske matematikern Madhava.
I slutet av 1300-talet insåg Madhava att värdet av arcustangens – den inversa funktionen till tangens – kunde approximeras av ett oändligt polynom.

Eftersom arctan 1 = π/4 innebär det att

vilket ger ett aritmetiskt uttryck för att beräkna värdet av π:

På samma sätt kan man utnyttja att arctan (1/√3) är lika med π/6 för att skriva ner ett annat uttryck för π. Med hjälp av de 21 första termerna i det oändliga uttrycket kunde Madhava beräkna talet π till 11 korrekta decimaler:

3,14159265358

Ett världsrekord i envishet

I Europa dröjde det till 1600- och 1700-talet innan matematiker som James Gregory, Brook Taylor och Colin MacLaurin – precis som Madhava – insåg att man kunde approximera krångliga funktioner med hjälp av oändliga polynom. Det ledde till att kampen om att finna fler decimaler till π ändrade karaktär. Man lämnade geometrins stränder och gav sig ut i aritmetikens djupare vatten. Att beräkna talet π handlade nu inte längre om att bestämma omkretsen av månghörningar, utan om att summera fler och fler termer i oändliga aritmetiska uttryck.
År 1706 använde John Machin ett sådant oändligt uttryck för att beräkna 98 korrekta decimaler. Flera andra matematiker följde i hans spår. Den kanske mest ihärdige av dem var britten William Shanks. Han ägnade 15 år av sitt liv åt att i mitten av 1800-talet beräkna 527 korrekta decimaler av π – för hand! Det var den längsta decimalutvecklingen av talet π före introduktionen av elektroniska datorer 75 år senare.

Datorer slår nya rekord

Historien om talet π förändrades för alltid med de elektroniska räknemaskinernas intåg i mitten av 1900-talet. År 1949 lyckades den första elektroniska datorn – ENIAC –bestämma de första 2 037 decimalerna av π. Med moderna mått mätt var ENIAC, med sina vakuumrör och kablar, en primitiv dator. Ändå lyckades den på mindre än tre dygn överträffa de senaste 4 000 åren av mänskliga ansträngningar. Sen gick det fort. Redan året därpå utvidgades rekordet till 16 000 decimaler. År 1961 nåddes drömgränsen: 100 000 decimaler. På 1970-talet var man uppe i miljonen, och år 1989 hade man satt den första miljarden decimaler av π på pränt.

Frågan på allas läppar: Varför?

Otaliga matematiker har genom historien ägnat år av sina liv åt att bestämma decimaler till π. De har konstruerat månghörningar med miljarder sidor, summerat aritmetiska uttryck med oräkneliga termer och programmerat superdatorer att tugga sig igenom mängder av beräkningar. Varför?
I början var efterforskningarna sannolikt motiverade av praktiska tillämpningar. Talet π behövdes för att beräkna omkrets och area av verkliga cirklar, men också för astronomiska beräkningar. Det senare krävde god precision.
Men den kanske största motiverande faktorn under århundradena har varit att försöka komma underfund med talet π:s natur. Är π ett rationellt tal, dvs. kan det skrivas som en kvot av två heltal? I så fall är dess decimalutveckling periodisk – efter ett tag måste decimalerna upprepa sig enligt ett visst mönster. Kunde man bara hitta fler decimaler till π, skulle man alltså kunna finna detta mönster.

Alla sådana förhoppningar grusades dock år 1767 när den schweiziske matematikern Johann Heinrich Lambert bevisade att π är irrationellt. Talet kan alltså inte skrivas som en kvot av två heltal och dess decimalutveckling kommer att vara oändlig, utan några upprepande mönster.
År 1882 bevisade den tyske matematikern Ferdinand von Lindemann att π dessutom är transcendent. Rent tekniskt innebär det att π inte kan vara ett nollställe till ett ändligt polynom med heltalskoefficienter. I praktiken innebär det att π inte kan skrivas som ett ändligt numeriskt uttryck där man använder de fyra räknesätten och roturdragningar. (***)
Men trots att talet π:s grundläggande natur var kartlagd redan i slutet av 1800-talet, slutade inte matematiker att karva ut fler decimaler. Tvärtom. Att finna fler och fler decimaler till π är än i dag ett aktivt forskningsområde. Tack vare dagens kraftfulla datorer känner vi i dag till 202 biljoner (202 × 10^12) korrekta decimaler av π.
Men när du läser den här texten är det rekordet kanske redan slaget. Talet π har ju oändligt många decimaler, och matematiker är fortfarande nyfikna på att klura ut smartare och mer effektiva sätt att finna dem.

7034341087 5351110672 0525610978 1945263024 9604509887 5683914937 4658179610 2004394122 9823988073 3622511852

De 100 sista decimalerna i världsrekordet av π.

(*) Det joniska talsystemet fungerade lite som det romerska talsystemet, fast med grekiska bokstäver.

(**) Arkimedes visade också att talet π inte bara kunde användas för att räkna ut cirkelns omkrets utan också dess area.

(***) Det satte dessutom punkt för förhoppningarna om att lösa ett av matematikhistoriens mest ikoniska problem – cirkelns kvadratur.

Den fascinerande historien om talet π