Magi med π
Det här matemagiska tricket kan användas för att fira pi-dagen på högstadiet och gymnasiet. Aktiviteten ger tillfälle att uppmärksamma betydelsen av talet π i matematiken och överraska eleverna med ett magiskt trick.
Trickets genomförande
Börja med att skriva talet π på tavlan och låt eleverna ange så många decimaler av talet som de kan.
π ≈ 3,14159
Komplettera vid behov så att du skriver ut minst fem decimaler.
Låt eleverna ge exempel på vad talet π används till i matematiken. I vilka sammanhang dyker talet upp? Om eleverna går på högstadiet, känner de förmodligen till att talet π förekommer i geometriska formler för omkrets, area och volym, till exempel
Om eleverna har hunnit läsa en del gymnasiematematik, känner de kanske igen att talet π även dyker upp i samband med normalfördelningen och vinkelmåttet radianer.
Visa eleverna att talet π även dyker upp på andra ställen i matematiken och fysiken, till exempel...
... i oändliga summor...
... i Eulers berömda identitet..
... i modellen för pendelrörelse...
... och i den magnetiska konstant som används för att göra beräkningar på magnetiska fält.
Eftersom talet π dyker upp i alla möjliga och omöjliga sammanhang har du börjat tro att talet π har magiska egenskaper, berättar du för klassen. ”Tror ni mig inte?” kan du säga. ”Då ska jag bevisa det för er.”
Välj ut fem elever, A–E, och dela ut fyra lappar med siffror till var och en:
Låt elev A ropa ut en av sina fyra siffror, vilken som helst.
Du skriver upp siffran på tavlan och instruerar eleven att lägga lappen åt sidan – den siffran är nu förbrukad.
Låt nu elev B, C, D och E – i den ordningen – ropa ut en av sina fyra siffror och lägga den lappen åt sidan. Du skriver upp de valda siffrorna efter varandra på tavlan och skapar på så vis ett femsiffrigt tal, till exempel
Upprepa proceduren tills det står fyra femsiffriga tal på tavlan, till exempel
(Det kan vara en fördel att sprida ut talen på tavlan. Det blir nämligen lättare för eleverna att genomskåda tricket om du skriver talen direkt under varandra.)
Betona för eleverna att de fyra femsiffriga talen har valts helt slumpmässigt. Du har inte haft någon kontroll över vilka siffror som eleverna skulle välja. Uppmana sedan en elev att – med hjälp av en räknare – beräkna summan av de fyra talen.
Placera ett kommatecken efter 3:an och njut av elevernas reaktion när de inser att talet som bildats är de sex första siffrorna i talet π.
”Jag sa ju det!” kan du säga. ”Talet π är magiskt. Det dyker upp överallt.”
Vad du i hemlighet gör
Du behöver inte göra någonting. Matematiken gör jobbet!
Varför tricket fungerar
Eftersom du ber eleverna att välja siffrorna i ordning, A-B-C-D-E, kommer summan av siffrorna på entalsplatsen att vara summan av siffrorna du gav till elev E. Summan av siffrorna på tiotalsplatsen kommer att vara summan av siffrorna du gav till elev D, och summan av siffrorna på hundratalsplatsen kommer att vara summan av siffrorna du gav till elev C, osv. Oavsett i vilken ordning respektive elev väljer att ropa ut sina fyra siffror, kommer summan av de fyra femsiffriga talen alltid att vara densamma, nämligen 314 159. Det blir särskilt tydligt om man beräknar summan med uppställning.
I klassrummet
För att tricket ska fungera som tänkt är det viktigt att eleverna inte ropar ut siffran på en och samma lapp flera gånger. Betona därför särskilt att eleverna ska lägga undan lapparna med de siffror de redan ropat ut.
När man visar hur tricket fungerar bryts samtidigt lite av magin kring talet π. Vill du avslöja matematiken bakom – och det kan ju i sig vara ett bra lärandetillfälle – är det därför en god idé att vänta med det till nästa matematiklektion. På så sätt får talet π vara magiskt under pi-dagen.
Variera och fördjupa
Ett sätt att variera tricket är att skriva en nolla och ett decimalkomma på varje rad, innan du ber eleverna ropa ut sina siffror. Då blir summan av de fem talen precis talet π, utan att du behöver sätta ut ett decimalkomma i efterhand. En nackdel är dock att eleverna lättare kan genomskåda vad trickets slutkläm kommer att vara.
Tips! Fler idéer till din undervisning finns i boken Tio uppgiftstyper i matematik.