Fraktaler på liv och död
“Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles and bark is not smooth…”
När vi beskriver en form eller figur i vår vardag använder vi ofta klassiska geometriska begrepp. Stammen av ett träd ser ut som en cylinder, ett mjölkpaket har formen av ett rätblock och gränsen mellan två länder är en slät kurva. Men studerar vi figurerna på nära håll är sådana begrepp ofta otillräckliga. En trädstam liknar visserligen en cylinder på håll, men kommer vi närmare, har den buktande hål och en skrovlig yta. I naturen är sådana oregelbundenheter norm snarare än undantag och för att beskriva dem behövs en ny geometri.
Von Kochs kurva
Fraktaler i naturen och i matematiken
Kring det förra sekelskiftet började flera matematiker studera kurvor och figurer som inte kunde beskrivas med klassiska geometriska begrepp. Den svenske matematikern Helge von Koch konstruerade t.ex. år 1904 en kurva som var spetsig i varje punkt och år 1915 skapade den polske matematikern Wacław Sierpinski en oändligt sönderbruten triangel. På 1960-talet insåg matematikern Benoit Mandelbrot att dessa geometriska figurer kunde vara byggstenar i en helt ny geometri. Han gav dem namnet fraktaler, efter latinets fractus, som betyder ”bruten”.
Sierpinskis triangel. Bild: Beojan Stanislaus
Fraktaler är en brokig skara geometriska figurer, som inte är helt lätta att definiera. Typiskt för många av dem är att de är självlikformiga. Zoomar man in en fraktal finner man alltså gång på gång samma struktur men i mindre skala. Ett bergs toppar och dalar utgör till exempel en taggig struktur som återfinns i mindre skala i dess oregelbundna klippblock. Ett träd förgrenar sig i stammar, som delar sig i grenar, som delar sig i kvistar. Och en romanesco-broccoli består av bitar som var och en är en mindre kopia av hela figuren.
Romanescobroccoli är en naturlig fraktal. Den kan delas in i bitar som var och en är en mindre kopia av hela figuren.
Även om det finns fraktalliknande strukturer i naturen bor de äkta fraktalerna i matematikens idévärld. Ett exempel är tidigare nämnda Sierpinskis triangel. För att konstruera Sierpinskis triangel utgår man från en färgad liksidig triangel, delar in den i fyra mindre trianglar och tar bort den mittersta. I nästa steg gör man om proceduren: de återstående färgade trianglarna delas var och en in i fyra delar varav den mittersta avlägsnas. Processen tar aldrig slut och resultatet blir en oändligt uppbruten figur.
Stegvis konstruktion av Sierpinskis triangel
Eftersom konstruktionsprocessen fortgår i all oändlighet, kan man i teorin zooma in triangeln i allt finare detalj och se samma struktur upprepa sig gång på gång, men i olika skala. Effekten blir närmast hypnotisk.
Fraktaler blir konst
Benoit Mandelbrot är känd för att ha gett dessa säregna geometriska varelser ett namn – fraktaler – men han är också känd för att ha utnyttjat den gryende datorkraften på 70-talet till att skapa slående visuella illustrationer av dem. Fraktaler är till sin natur notoriskt svåra att rita för hand, men datorer tröttnar inte på att upprepa rutinmässiga procedurer tusentals gånger och kan dessutom programmeras till att sätta färg på de intrikata mönstren. Över en natt blev fraktaler konst, och deras färggranna former hamnade på väggarna i många studentrum.
En del av en fraktal som kallas Juliamängden
Det finns något psykedeliskt i fraktalernas självlikformighet. Deras oändliga djup av världar, bortom världar, bortom världar. Det finns en attraktionskraft i idén att man kan zooma in i all oändlighet, liksom drunkna i bilden. Men det finns fler häpnadsväckande egenskaper hos fraktaler, som kittlar – inte bara vårt visuella sinne – utan även vår matematiska intuition.
En ny dimension
Ställd inför en geometrisk figur är en matematikers första instinkt att försöka mäta dess storlek. Hur lång är dess omkrets? Hur stor är dess area? Men hur ska sådana mätningar kunna göras på fraktaler som är resultatet av en oändligt upprepad procedur? Matematiker har utarbetat metoder för att göra även sådana tankevolter. Se här:
Sierpinskis triangel har alltså ingen mätbar omkrets – den är oändlig – och ingen mätbar area – den är obefintlig. Vårt sätt att mäta endimensionella figurer (i storheten längd) och tvådimensionella figurers storlek (i storheten area) fallerar på sätt och vis när vi applicerar dem på fraktaler som Sierpinskis triangel. (Det är inte för inte som de fraktala kurvor som skapades i början av 1900-talet kallades patologiska.) Men att vi inte kan mäta Sierpinskis triangel på vanligt sätt beror kanske inte på att figuren är ”patologisk”, utan på att våra matematiska verktyg inte räcker till. Kanske försöker vi hugga ved med en hammare, när vi behöver en yxa. Matematiker hanterar sådana problem genom att utvidga befintliga begrepp så att de når långt utanför boxen. Låt oss se hur de gjorde detta med begreppet dimension.
Vi säger att en sträcka har en dimension (längd), att en kvadrat har två dimensioner (längd och bredd) och att en kub har tre dimensioner (längd, bredd och höjd). När vi dubblerar längden av sträcka, blir den (så klart) 2^1 = 2 gånger så lång. Dubblerar vi längden av varje sida i en kvadrat, blir den 2^2 = 4 gånger så stor. Och om vi dubblerar längden av varje sida i en kub, rymmer den 2^3 = 8 kopior av den ursprungliga kuben.
Dubblerar vi varje sida i en d-dimensionell figur, blir dess storlek alltså 2^d gånger så stor. Eller med andra ord: den rymmer 2^d kopior av den ursprungliga figuren. Så, vad händer när vi dubblerar varje sida i Sierpinskis triangel?
Jo, då rymmer den tre kopior av den ursprungliga figuren. Inte två, som om den varit endimensionell, och inte fyra, som om den varit tvådimensionell – utan tre! Ett sätt att tolka resultatet är att Sierpinskis triangel varken är endimensionell eller tvådimensionell utan någonting däremellan. Mer precist har den en dimension d som uppfyller sambandet 2^d = 3, där d = log2(3) = 1,585… Man säger att triangeln har fraktal dimension, ett tappa-hakan-begrepp som formulerades av den tyske matematikern Felix Hausdorff år 1918.
Att ha fraktal dimension, alltså en dimension som inte är ett heltal, är typiskt för fraktaler. Att Sierpinskis triangel har högre dimension (1,585) än von Kochs kurva (1,261) avslöjar att Sierpinskis triangel i någon mening fyller planet i högre grad än von Kocks kurva gör. I början av 1900-talet var fraktala kurvor och figurer en kuriositet och deras fraktala dimension en abstraktion. Idag kan kunskapen om fraktala dimensioner rädda liv.
Fraktaler räddar liv
Studierna av fraktaler drevs från början av inommatematiska frågeställningar. Man skapade extrema, abnormala kurvor för att analysera egenskaper som kontinuitet och deriverbarhet. Först senare, när datorer blåste liv i dessa kurvor och man för första gången fick se detaljerade illustrationer av dem, blev man varse att figurerna kunde beskriva fenomen i naturen.
Föremål som bergskedjor, kustlinjer och romanescobroccoli är i matematisk mening inte äkta fraktaler, eftersom man (till skillnad från objekt i matematikens idévärld) inte kan zooma in dem i all oändlighet. (Till sist landar man ju på atomnivå.) Men objekt i naturen som uppvisar självlikformighet på ett par olika skalor brukar ändå kallas fraktaler.
Några av de mest intressanta fraktala strukturerna finns i våra egna kroppar. Ett exempel är vårt blodsystem som självlikformigt förgrenar sig från aorta till mindre och mindre blodkärl. Samma struktur finns i våra lungor där luftstrupen först delar sig i två bronker, som sedan fortsätter att dela sig i mindre luftrör. Efter ungefär 11 nivåer av förgreningar når man de fina bronkiolerna och alveolerna. Dessa fraktala strukturer veckar lungytan i så intrikata vindlingar att den totala begränsningsytan motsvarar en halv tennisbana – just den geometri som möjliggör ett effektivt syreutbyte.
Men blodkärlens och luftrörens förgreningar är inte de enda exemplen på fraktala strukturer i våra kroppar. Om man mäter en människas puls var tredje sekund och markerar resultatet i ett koordinatsystem får man en knixig kurva. Forskare har kunnat visa att hjärtats hälsa hör ihop med denna kurvas fraktala dimension. Ett hälsosamt hjärta skissar en kurva vars dimension är ungefär 1,5. Lägre eller högre värden än så signalerar potentiella hjärtproblem.
Även i cancerdiagnostik spelar fraktal analys en avgörande roll. Genom att undersöka vävnadsprover av cancertumörer har man funnit att godartade (gröna) tumörer har en högre fraktal dimension än elakartade (röda).
Bild av cancerogen vävnad efter binärisation och kantdetektion. Ur: Chan, Alan & Tuszynski, Jack A. (2016)
Fraktal dimension hos bilder av vävnadsprover. Ur: Chan, Alan & Tuszynski, Jack A. (2016)
Vävnadsprovernas fraktala dimension ger alltså en god indikation på tumörens malignitet. Fraktal analys utnyttjas därför i automatiserade datorprogram som kan bedöma cellprover från tumörer snabbare och mer effektivt än en människa. På så sätt kan patienten få både snabbare och träffsäkrare besked.
Sammanfattning
Länge ansågs fraktala ytor och kurvor vara en slags geometrins utbölingar – ett gäng specialfall som var av intresse för en grupp matematiska filosofer. Ingen av dem hade nog kunnat föreställa sig de tillämpningar fraktaler har idag. Det är en besynnerlig och fantastisk egenskap hos matematik, att idéer som utvecklas enkom för sin egen skull, har en tendens att långt senare bli tillämpbara och samhällsnyttiga.
När man en gång stött på begreppet fraktal börjar man se dem överallt i naturens taggiga, veckade, knottriga strukturer. Och med några rader kod kan man utforska vilka självlikformiga strukturer som definierar dem. Akta dig. Det är beroendeframkallande.
Maskros gjord i Python enligt fraktal struktur: https://repl.it/@reutersward/Test-tree
Referenser och vidare läsning
Chan, Alan & Tuszynski, Jack A. (2016) Automatic prediction of tumour malignancy in breast cancer with fractal dimension, Royal Sociey Open Science, Volume 3, Issue 12
Falconer, Kenneth (2013) Fractals – a very short introduction, OUP Oxford; 1 edition
Ornes, Stephen (2019) Math Art – Truth, Beauty and Equations, Sterling Publishing
Wikipedia, Fractal https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal