För några dagar sedan läste jag en artikel i The Guardian där matematikern Vicky Neale visade hur man kan göra matematiska julkort. Jag blev ohjälpligt nyfiken, köpte styva brevkort i olika färger och skred till verket. Med nål, tråd och lite tålamod prydde jag julkorten med vackra (kurviga!) geometriska mönster – och gick samtidigt på en matematisk upptäcksfärd.  

Parabler 

Om du tittar noga på korten här ovanför, upptäcker du snart att det som förefaller vara böjda kurvor, i själva verket är resultatet av en mängd raka streck. Den här motsägelsefulla effekten är lätt att få till. Gör så här:

1. Rita två streck som skär varandra

2. Placera punkter med jämna mellanrum längs de båda strecken

3. Förbind punkterna som i videon här nedanför

Man kan visa att kurvan som de raka strecken karvar fram är en parabel (med symmetrilinjen y = x). Matematiskt säger man att parabeln är enveloppen av de räta linjerna. Det betyder att just den parabeln tangerar var och en av de räta linjerna (eller, om du vill, att varje linje är tangent till just den parabeln).  

Bara fantasin sätter gränser för vad du kan skapa med dessa svängda skönheter! Jag gick i Vicky Neales fotspår och formade en gran och en snöflinga, men här finns ett annat mönster att prova. Och du behöver faktiskt inte sy – du kan likagärna rita.

En cirkel

Genom att pricka ut punkter med jämna avstånd längs med randen av en cirkel och sedan förbinda punkterna enligt särskilda regler kan man skapa andra roliga mönster. (I Vicky Neales artikel finns en förlaga till punkterna.) Det här mönstret fick jag genom att förbinda alla par av punkter som var sju punkter isär.

Väljer du ett annat avstånd än 7, får du andra mönster.

En sexhörning

Efter att jag skapat ett antal olika mönster kunde jag inte låta bli att googla på fler.  Det visade sig att det här med att sy kurvor är en grej! Googlar du på curve-stitching hittar du massor av mönster att testa, eller vad sägs om det här vackra hexagonala mönstret?

En cardioid

Det mest intrikata av mina julkortsmönster är det överraskande resultatet av lite moduloräkning.

Du placerar ett antal punkter (jag valde 72) med jämna avstånd längs en cirkel och numrerar dem (1, 2, …, 72). Du börjar med den första punkten (1), dubblar talet (2) och förbinder dessa två punkter med varandra. Därefter gör du om proceduren med punkten du landade på: Du dubblar talet 2, får 4 och förbinder därför punkt 2 och 4 med varandra. Och så vidare. (Om du dubblar och får ett tal större än 72, subtraherar du 72 så att resultatet hamnar mellan 1 och 72 igen. För den som behärskar lite matematiklingo räknar du alltså modulo 72). Kurvan som framträder kallas för en cardioid. Mathologer visar proceduren:

Men varför just dubbla talet? Vad händer om du i stället tredubblar? Eller fyrdubblar? Du kommer att märka att sådana här ”Vad händer om?”-frågor uppträder alldeles automatiskt. För den som bestämmer sig för att besvara dem utlovas både estetiskt och matematiskt tilltalande upplevelser!

Mycket nöje och god jul! 

PS. I mina kommande tre blogginlägg kommer jag att fortsätta att undersöka sambandet mellan matematik och konst. Prenumerera gärna på bloggen om du är nyfiken på det. DS.

Vidare läsning

Making patterns: Pushing the envelope, American mathematical society

Envelope, Wikipedia (eng)