Matematik har alltid använts för att förstå, beskriva och analysera vår omvärld. Men för den som uppfattar matematik och konst som antiteter, kan det kännas långsökt att försöka beskriva konst med matematik. Hur matematiserar man något så otämjbart som kreativitet? Hur pressar man ner målningar, symfonier och romaner i matematikens kvantitativa lådor? Svaret är att matematik ytterst handlar om att upptäcka och beskriva mönster. Och sådana finns det gott om i konstens värld.

Centralperspektivet

Hur avbildar man en vy från vår tredimensionella värld så realistiskt som möjligt på en tavelduk? Den frågan har sysselsatt konstnärer i hundratals år och faktiskt lett fram till matematiska upptäckter. För att ge en målning djup behöver man nämligen ta hänsyn till vissa geometriska principer. Det har konstnärer varit på spåren sedan antiken, men det var först under renässansen som arkitekten Filippo Brunelleschi på allvar förstod hur dessa principer skulle tillämpas. Han visade att man med hjälp av en så kallad horisontlinje och flyktpunkt kan se till att objekt som befinner sig på olika avstånd från betraktaren får rätt storlek i förhållande till varandra. Tekniken fick på svenska namnet centralperspektiv.

Teorin bakom Brunelleschis idéer nedtecknades av vännen Leon Battista Alberti år 1435 i verket De pictura. Verket får ses som ett embryo till den del av matematiken som kallas projektiv geometri. Det är insikterna från denna disciplin som idag gör det möjligt att skapa realistiska tredimensionella animeringar i filmer och dataspel.

De 17 tapetgrupperna

Människor har i alla kulturer utsmyckat sin omgivning, till exempel med vackra plattsättningar, färggranna tyger och mönstrade tapeter. Tillsammans skapar de en historisk djungel av vackra mönster som vi kan uppleva på väggarna av både gamla och moderna byggnader. Precis som en biolog ger sig ut i djungeln för att klassificera nya organismer i familj, släkte och art, har matematiker dykt ner i snårskogen av mönster för att försöka hitta gemensamma kännetecken. Deras exkursioner i mönsternas värld har lett dem att definiera begreppet symmetri.

I matematisk mening är symmetri ett sätt att transformera ett mönster eller en figur så att den ser exakt likadan ut efter transformationen. Titta till exempel på rutmönstret här nedanför och tänk dig att det fortsätter i all oändlighet i alla riktningar. Om vi förflyttar varje kolumn av rutor ett steg åt höger, kommer mönstret att se precis likadant ut. Den förflyttningen – translationen – är alltså ett exempel på en symmetri.

Mönstret förblir också oförändrat om vi tar upp det och vänder på det, antingen från vänster till höger, nerifrån och upp eller längs en diagonal. Den typen av symmetri kallas för spegling eller reflektion. Ett tredje sätt att transformera mönstret är att utföra en rotation. Vi kan till exempel rotera mönstret här ovanför 90° utan att förändra dess utseende (*). Om du tänker efter ett tag inser du snart att du kan utföra precis samma symmetriska transformationer med mönstret här nedanför. Även om det till ytan har andra färger och former har det samma symmetriska struktur. En biolog skulle kanske säga att de två mönstren tillhör samma släkte. En matematiker skulle säga att de tillhör samma tapetgrupp.

Bildhänvisning: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3022609

Genom att studera plattsättningar, tyger, mosaiker och tapeter med begreppet symmetri som verktyg har matematiker kommit fram till att det finns precis 17 stycken olika tapetgrupper. Även om tapeterna på dina väggar innehåller olika former, figurer och färger, kan de alltså bara vara symmetriska på 17 olika sätt.

Pythagoras harmoniska toner

När man slår an en sträng på en gitarr eller drar en stråke över en fiolsträng vibrerar den med en viss hastighet. Vibrationerna färdas genom luften och tolkas av våra öron som en ton. Ju fler vibrationer per sekund som strängen gör, desto ljusare uppfattar vi tonen. Redan för många tusen år sedan förstod man att det fanns ett samband mellan tonhöjden och strängens längd: ju kortare sträng, desto ljusare ton. Den insikten gav upphov till instrument med olika långa strängar, till exempel den här bågharpan från västra Afrika.

Bild från Tropenmuseum, National Museum of World Cultures, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=20354845 — *Bild från Tropenmuseum, National Museum of World Cultures, CC BY-SA 3.0,* *https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=20354845*

I mer moderna instrument som gitarr och fiol varierar man strängens längd genom att placera sina fingrar längs fiolens eller gitarrens hals. På så sätt kan man åstadkomma en rad olika toner. Men var ska man placera sina fingrar för att skapa toner som låter bra tillsammans? Den frågan ställde sig den grekiske matematikern Pythagoras (570 f.Kr.-495 f.Kr.). Genom att systematiskt undersöka tonerna vid olika stränglängder drog han slutsatsen att våra öron tilltalas av toner vars stränglängdförhållanden är enkla bråktal. Den ton som skapas av en hel stränglängd (1) låter alltså bra tillsammans med toner där vi låter låter exempelvis hälften (1/2), två tredjedelar (2/3), tre fjärdedelar (3/4) eller fyra femtedelar (4/5) av strängen vibrera. Placerar vi däremot fingret vid sju tolftedelar (7/12) av strängens längd – ett mer komplext bråktal – uppfattar vi kombinationen som oharmonisk, ja, rent av dissonant. Testa själv i applikationen här nedanför. Spela först tonen längst till vänster, som motsvarar hela stränglängden, och därpå någon av de andra tonerna. Visst skär det sig lite i öronen när man kombinerar hela stränglängden med tonen vid 7/12?

Det visar sig alltså att det finns en slags matematisk logik i hur våra öron uppfattar toner. Den logiken avtäcktes av Pythagoras och lade grunden till västerländsk musik.

Jakten på hemliga författare

Även om vi här ovanför demonstrerat att såväl bildkonst som arkitektur och musik varit grogrund för nya matematiska idéer är det svårt att föreställa sig att även litteratur skulle låta sig kvantifieras. Men tack vare den digitala utvecklingen har litteraturen kommit inom räckhåll för matematisk analys. Matematiker har nämligen utvecklat metoder för att identifiera en författares stil. Metoderna utnyttjar att författarens ordval, stavning och användning av småord som prepositioner och pronomen skapar ett slags stilistiskt fingeravtryck i texten – ett avtryck som består även när författaren åldras eller byter genre. Genom att med kraftfulla datorer kvantifiera dessa stildrag – till exempel frekvensen av vanliga ord – kan man skapa en stilistisk profil av en författare.

År 2013 kunde man med hjälp av sådan här forensisk språkanalys – stilometri – komma fram till att författaren bakom pseudonymen Robert Galbraith, som skrivit deckaren The Cuckoo’s Calling, i själva verket var Harry Potter-mamman J. K. Rowling. Liknande metoder har använts för att försöka avslöja författaren bakom pseudonymen Elena Ferrante. Flera forskarlag har jämfört det stilistiska fingeravtrycket i Min fantastiska väninna med andra publicerade italienska verk och dragit slutsatsen att det förmodligen är författaren Domenico Starrone, eller möjligen hans fru Anita Raja, som står bakom succétrilogin.

Sammanfattning

Konsten har alltså varit bördig jord för nya matematiska idéer. Den har sporrat matematiker att beskriva mönsters symmetrier, utveckla tekniker för att måla i perspektiv, slå fast vilka toner som låter vackra tillsammans och kvantifiera en författares stil. Skiljelinjen mellan matematik och de estetiska ämnena börjar suddas ut. Och den suddas ut från båda hållen. Det är nämligen inte bara så att konsten utgjort inspirationskälla till matematiska idéer. På senare tid har konstnärer även låtit sig inspireras av matematik för att skapa konst. Men det är en historia som jag berättar i nästa blogginlägg.

* Det finns även en fjärde typ av symmetri – en glidning – som är en kombination av rotation och translation, men den tar vi inte upp här.