Matematik är (ingen) konst

”The first thing to understand is that mathematics is an art” skriver Paul Lockhart i boken A Mathematician’s Lament ” (s. 22). Påståendet kan få vem som helst att höja på ögonbrynen. Matematikens färdiga procedurer och objektiva sanningar förefaller väsensskilda från en konstnärs kreativa svängrum. Men i själva verket har de två disciplinerna mycket gemensamt. Bra konst är överraskande, estetiskt tilltalande och förmedlar en originell idé. Bra matematik är fängslande på precis samma sätt.

Matematik är konst

Låt mig inleda med att peka ut några beröringspunkter mellan konst och matematik. Till att börja med har båda disciplinerna den lite osmickrande egenskapen att de kan vara svåra att förstå sig på. Att navigera i deras värld kräver ofta förmåga att tolka ett abstrakt symbolspråk. För det andra strävar både matematiker och konstnärer efter att skapa nytt, att formulera insikter som ingen virat sina tankar om förut. De kämpar med det tomma, vita pappret och när den förlösande idén väl kommer, är det tack vare lika delar hårt arbete och inspiration. Drivkraften bakom deras ansträngningar är inte alltid att det de skapar ska komma till nytta (även om matematiska idéer har en förbluffande förmåga att komma till användning). I stället handlar det om att utmana de yttre konturerna av sin kreativitet, att utforska vidden av vad som går att veta.

“When I look at some papers or talk to my collaborators, there’s some nice idea /…/ It’s like listening to music or seeing an amazing drawing. It’s really like art.”

— Maryam Mirzakhani, första kvinna att motta den prestigefyllda Fieldsmedaljen

Ett tredje gemensamt drag är att såväl konstnärer som matematiker undersöker världen med sin fantasi. De förenas i viljan att utforska, beskriva och formulera den. En musiker formar idéerna till toner, en poet fångar dem i ord, en matematiker uttrycker dem i ekvationer.
     Men det kanske mest överraskande släktskapet mellan konst och matematik är deras gemensamma strävan efter skönhet. Ja, du läste rätt: skönhet. Den brittiske matematikern G.H. Hardy har formulerat det så här:

”The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or the words must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics.”

G.H. Hardy, A mathematician’s apology

Matematik är vetenskapens poesi

Men om matematik kan vara vacker, rent av en egen konstform, vad består den skönheten i? Rader av siffror och symboler för ju inte omedelbart tankarna till fägring. Som flitig lyrikläsare tror jag att matematikens skönhet bäst förklaras genom en jämförelse med poesi. Precis som poeter, formulerar matematiker något stort på en liten yta. Och precis som hos god poesi, framkallar läsningen en slags intellektuell orgasm; en tidlös förundran över att få avtäcka en evig sanning. Låt mig göra jämförelsen mer konkret.  

Bilder som redskap

När den svenske stjärnpoeten Bruno K. Öijer i dikten Okänt vin skriver att ”…tillvaron klingar som glas mot glas…” använder han en liknelse för att förmedla känslan av en tillvaro i harmoni. En bild eller en liknelse kan ge precis samma aha-upplevelse i matematiken. Låt mig ge ett exempel.

Börja med talet 1 och addera successivt följande udda tal. Vad blir resultaten?

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Fundera ett tag på talen till höger om likhetstecknen: 1, 4, 9, 16 och 25. Har de något gemensamt?

Talen 1, 4, 9, 16 och 25 kallas för kvadrattal eftersom de kan skrivas som ett tal i kvadrat: 1^2, 2^2, 3^2, 4^2 och 5^2. Blir summan alltid ett kvadrattal, oavsett hur många udda tal vi lägger till? Testa! 

Om du följde uppmaningen i stycket här ovanför märkte du nog att mönstret verkar fortsätta. Adderar vi de positiva udda talen från 1 och uppåt får vi alltid kvadrattal. Men varför blir det så? Och hur ska vi kunna övertyga oss om att mönstret fortsätter i all oändlighet? Låt mig se om jag kan övertyga dig med – ja, just det – en bild.  

Varje udda tal kan formas till en sådan här upp-och-nervänd L-form.

Vad händer om vi adderar på varandra följande L-former med varandra? Precis, de bildar en kvadrat! Summan av på varandra följande udda tal är alltså alltid ett kvadrattal, oavsett hur många udda tal vi lägger till.

Med hjälp av några enkla bilder förstår vi plötsligt på ett helt annat sätt varför summan av de positiva udda talen är kvadrattal. Det geniala i resonemanget lämnar efter sig en smak av djup tillfredsställelse, en sorts aha-upplevelse man kan få uppleva även i poesin. Liksom matematiker har poeter förmågan att återge samband, erfarenheter och insikter med sådan precision att de framstår som självklara.

Morgonluften avlämnade sina brev, med frimärken som
                                                          glödde
Snön lyste och alla bördor lättade – ett kilo vägde 700 gram
                     inte mer

Ur dikten Dagsmeja av Thomas Tranströmer

 I den här videon kan du låta dig förföras av några fler poetiska talsamband.

Överraskningar och motsatser

Poeter är experter på att överraska sina läsare genom att föra samman motsatser eller inkommensurabla objekt. Wislawa Szymborskas dikt ”Slutet och början” inleds exempelvis med orden:

Efter varje krig
måste någon städa upp
En någorlunda ordning
uppstår inte av sig själv

Någon måste skyffla undan
spillrorna från vägarna
så att vagnarna ska kunna
forsla undan liken

Några verser senare får hon läsaren att haja till:

Någon med kvast i hand
pratar ännu om hur det var
Någon lyssnar
och nickar med oavslitet huvud

Motsatsordet ”oavslitet” ger en skakande kontrastverkan som framkallar tanken på precis alla de huvuden som har slitits av. Att på detta sätt göra kopplingar mellan motstående begrepp är fruktbart – och bjuder på överraskningar – även i matematik. Ett sådant exempel är Eulers identitet.

Eulers identitet rymmer matematikens tre viktigaste konstanter: talet π, talet e och den imaginära enheten i. Den har framröstats som världens vackraste matematiska samband. En del av dess dragningskraft ligger tveklöst i att den förenar konstanter från tre helt olika matematiska områden: talet π har sina rötter i cirkelns geometri, talet e används bl.a. vid ränteberäkningar och den imaginära enheten i är den fundamentala byggstenen i komplexa tal. Att blanda tre så olika ingredienser i en matematisk likhet, och få det hela att resultera i något så enkelt som –1, är lite som att blanda vaniljglass, ketchup och rostad lök i en skål och få det att bli en lyckad kulinarisk upplevelse. Euler själv måste ha studsat till i stolen när han såg sambandet framträda ur sin penna. Det är det otänkbara, och häpnadsväckande enkla, i sambandet, som gör det så slående vackert.

En annan som hade modet att förena två dittills skilda matematiska områden var den franske filosofen och matematikern Réné Descartes. På 1600-talet fick han det briljanta infallet att beskriva geometriska objekt med hjälp av algebra. Vanligtvis beskriver vi geometriska begrepp – som cirklar och räta linjer – med begrepp som radie, sned eller horisontell. Genom att rita in figurerna i ett koordinatsystem öppnade Descartes upp helt nya möjligheter.
     Den röda linjen här nedanför består av punkter som var och en har y-koordinaten 4. Descartes föreslog därför att man skulle kunna beskriva den med ekvationen y = 4. Den blå linjen består också av oändligt många punkter. Några av dem är (0, 1), (2, 3) och (4, 5). Om du tittar efter, ser du att punkternas y-koordinater alltid är 1 större än x-koordinaten. Eftersom alla punkterna på linjen har den här egenskapen, kan vi beskriva den med ekvationen y = x + 1.

Cirkeln här nedanför kan vi också beskriva med en ekvation. Eftersom den har radien 1 består den av alla punkter (x, y) med avståndet 1 till origo. Det påståendet kan vi, med hjälp av Pythagoras sats, beskriva med ekvationen x^2 + y^2 = 1.

Genidraget att beskriva geometriska figurer med algebra, gav linjerna, ellipserna, kurvorna och cirklarna en slags ny identitet – ett alter ego som lät dem vandra omkring i algebrans korridorer. Genom att på detta sätt beskriva geometriska objekt med ekvationer kunde Descartes och hans samtida tackla svåra geometriska problem med hela algebrans arsenal av redskap. Precis som i poesin kan det i matematiken visa sig slående effektivt att föra samman till synes oförenliga objekt.

Skönhet visar vägen

Till skillnad från en konstnär skapar matematiker inte konst av trä, sten eller färg, utan av välsnidade idéer. Skönhetsupplevelsen ligger i aha-upplevelsen, att få se något på ett helt nytt sätt. Man skulle kunna tro att denna estetiska sida är något ute i marginalen. Tvärtom. Skönhet och elegans är en del av matematikens kärna, dess essens. För många matematiker är den själva drivkraften i arbetet.

Matematikern Tom Britton vid Stockholms Universitet, till exempel, arbetar med smittspridningsmatematik – en av de grenar av matematiken vars tillämpningar har allra mest vittgående konsekvenser för hela mänskligheten. Men de matematiska resultatens användbarhet är inte den främsta anledningen till hans engagemang. ”Jag måste erkänna”, sa han i en föreläsning om smittspridning, ”att många av oss ägnar oss åt den här matematiken för att den är så vacker.” 

Men matematikens skönhet kan också vara användbar. Den kan vägleda matematiker till rätt stig i snårskogen av möjliga tankeriktningar att följa. ”When I’m deep in the thick of a math problem, macheting away at the undergrowth”, berättade matematikern Vicky Neale för BBC, ”beauty can help me choose which path to follow”. Som den franske matematikern Henri Poincaré har pekat ut, är nämligen de mest fruktfulla idéerna ofta också de vackraste. 

”The useful combinations are precisely the most beautiful, I mean those that can most charm that special sensibility that all mathematicians know, but of which laymen are so ignorant that they are often tempted to smile at it.”

Ur Villani (2020), s. 56

Sammanfattning

Kanske sitter du fortfarande och funderar på hur skolmatematikens rader av algebraiska förenklingar och rutinmässiga procentberäkningar kan kvala in som konst. Det gör de inte. All matematik är inte vacker, långt ifrån. Men den kreativa matematiken kan ändå liknas vid en konstform. Matematiker skulpterar sina resonemang ur matematiska begrepp och ibland är linjerna som framträder särdeles vackra. Jag minns själv vilken estetisk upplevelse det var att på gymnasiet få se härledningen av formeln för geometrisk summa och att få följa de enastående idéerna bakom derivatans definition.

Jag är långt ifrån ensam om att uppleva detta intima släktskap mellan matematik och konst i allmänhet, och matematik och poesi i synnerhet. Många matematiker har beskrivit sin upplevelse av matematik på precis samma sätt. Den ryska matematikern Sonja Kovalevskaya har sagt att det är omöjligt att vara matematiker utan att innerst inne vara en poet, och Albert Einstein har kallat matematiken för de logiska idéernas poesi. Jag hoppas att jag med denna text låtit dig snudda vid innebörden i dessa formuleringar.

Referenser och vidare läsning

BBC4, Art of Now: A mathematicians guide to beauty: https://www.bbc.co.uk/programmes/m000fgd1

Lockhart, Paul (2009) A Mathematician’s Lament, Bellevue Literary Press: New York

Nahin, Paul J. (2006) Dr Euler’s Fabulous Formula. Princeton University Press: New York

Szymborska, Wislawa (1997) Nära ögat. FIB:s Lyrikklubb: Värnamo

Tranströmer, Tomas (2011) Dikter och prosa 1954-2004, Albert Bonniers Förlag: Pössneck

Villani, Cédric (2020) Mathematics is the poetry of science, Oxford University Press: Croydon

Öijer, Bruno (2017) Och natten viskade Annabel Lee, W&W: Lettland