Matematik blir konst
I texten Konst blir matematik visade jag exempel på hur konsten inspirerat till nya matematiska upptäckter. Men även motsatsen är sann. Det visar sig att såväl författare som kompositörer och bildkonstnärer inte sällan låter matematiska idéer inspirera sin konst. Häng med när vi diktar med Fibonacci, tar gyllene fotografier och lyssnar på talet π.
Fiktion med Fibonacci
När jag letar i minnet efter matematisk inspiration till skönlitteratur kommer jag omedelbart att tänka på Dan Browns kioskvältare Da Vinci-koden. Huvudpersonen Robert Langdon blir indragen i en mordutredning och får på vägen lösa pussel och krypton med matematiska förtecken. Men när jag söker en mer precis länk mellan litterärt skapande och matematik är det poesin jag instinktivt vänder mig till. Poesin är ju den del av litteraturen som är mest mönsterbunden. Versmått som hexameter, haiku och sonett följer en nästan matematiskt fastlagd struktur med ett bestämt antal rader, betonade stavelser och rytmiska rim. Den moderna lyriken har visserligen i mångt och mycket frigjort sig från sådana formkrav, men i diktsamlingens Alfabet från 1981 har den danska poeten Inger Christensen låtit diktsamlingen tyglas av en alldeles särskild matematisk struktur. Antalet rader i dikterna ökar nämligen enligt den berömda Fibonaccis talföljd, där varje tal (från och med det tredje) är summan av de två föregående.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…
Diktsviten börjar med dikter med 1, 2, 3 respektive 5 rader och slutar med dikt nummer fjortons 610 rader. Vill Christensen säga något med sitt val av Fibonaccis talföljd? Kanske att dikterna – eller vi – är summan av det som föregått dem.
Ett gyllene fotografi
När man jämför talen i Fibonaccis talföljd parvis framträder något märkvärdigt. Kvoten av två på varandra följande element i talföljden närmar sig ett bestämt tal ju längre in i talföljden man kommer.
Talet som kvoten närmar sig är
Av två konsektutiva tal i Fibonaccis talföljd kommer det senare talet alltså att vara ungefär 61,8 % större än det föregående. Trots att talen hela tiden skiftar, kommer detta storleksförhållande mellan dem att bestå. Den här kuriositeten blir anmärkningsvärd när man upptäcker att förhållandet 1:1,618 inte är vilket som helst. Det har varit känt av matematiker sedan antiken och har rykte om sig att vara särskilt vackert. När man delar in en sträcka i två delar, så att den längre delen är 61,8 % längre än den kortare, säger man nämligen att man har delat sträckan i det gyllene snittet. Det här förhållandet har kommit att uppfattas som särskilt tilltalande för ögat och har genom historien influerat såväl bildkonst och arkitektur som fotografi.
Konstnären Timm Ulrichs lät förgylla en limpa delad i det gyllene snittets proportioner. Med tillstånd av Kunstmuseum Celle mit Sammlung Robert Simon.
Men det är inte bara etablerade konstnärer som utnyttjar det gyllene snittet. I bildredigeringsprogram som Photoshop och fotoappar som Wise Camera finns ett gyllene rutnät (på engelska: phi grid) som du kan använda för att komponera ett harmoniskt fotografi. Det gyllene rutnätet delar in varje sida i fotografiet i tre delar, så att de två yttre delarna är 1,618 gånger så långa som den mellersta delen. Genom att placera motivets delar i linje med rutnätet, och framträdande objekt där två linjer möts, är tanken att du kan skapa en välbalanserad komposition.
Mozarts snitt
Att skapa en harmonisk komposition är inte ett problem förbehållet fotografer och konstnärer. Även kompositörer behöver balansera delarna i sina musikaliska verk. Mozart, som var erkänt intresserad av matematik, valde inte sällan att utnyttja det gyllene snittet för att skapa rätt balans i sina kompositioner. Nästan 50 % av hans pianosonater är komponerade med någon hänsyn tagen till det gyllene snittet. Tydligast syns detta i hans allra första pianosonat i C-dur. Av den första satsens 100 takter utgör den inledande expositionen precis 38 takter, en indelning så nära det gyllene snittet han kunde komma (jfr 61,8/38,2 = 1,618…). Den brittiske pianisten Nicholas Ross är övertygad om att indelningen var avsiktlig: ”Det faktum att det inte ens är en takt ifrån är slående. Det här var planerat”, kommenterade han i radioprogrammet Art of now i BBC4.
Att lyssna på π
Det gyllene snittet är inte den enda matematiska konstant som har inspirerat musiker. Även π – den mest betydelsefulla konstanten i hela matematiken – har gjort musikskapare nyfikna. Några av dem har till och med ställt den knasiga men kreativa frågan Kan vi lyssna på π? – och kommit fram till att svaret är ja. Genom att översätta varje siffra i decimalutvecklingen av π till en ton, har talet π blivit ett alldeles eget musikstycke.
Ett lapptäcke av matematik
För den som behöver en påminnelse är talet π förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Att π ≈ 3,14 betyder alltså att omkretsen är lite mer än tre gånger så lång som diametern.
Siffrorna i decimalutvecklingen av talet π börjar 3,141526… och tar aldrig slut. När man tänker efter är det en förbluffande idé att hela den oändligheten ryms i varje cirkel. Men vi är så vana vid cirklars enkla geometri att de inte erbjuder särskild visuell njutning. Konstnärer som vill visualisera π får därför ta till andra grepp. En av dem är matematikern och konstnären John Sims. Han har skapat mångfärgade lapptäcken där varje ruta motsvarar en decimal i talet π och varje siffra mellan 0 och 9 har en egen färg. Decimalerna växer fram i ett spiralmönster från täckets mitt och illustrerar den oändligt växlande strömmen av siffror i decimalutvecklingen av π. De rullar fram helt utan skönjbara mönster.
Med tillstånd av John Sims
Tesselering
Kvadraterna i John Sims lapptäcken täcker helt och hållet en plan yta. Att på detta sätt täcka planet med geometriska figurer utan överlapp eller mellanrum kallas för tesselering. Vi tesselerar varje gång vi sätter kakel i badrummet eller lägger plattor i trädgårdsgången.
Hur många möjliga tesserlingar finns det? Svaret på den frågan beror på vilken typ av figurer man tillåter, men ett villkor måste alltid vara uppfyllt: vinklarna i hörnen där figurerna möts måste summera till ett helt varv, 360°. Vill man göra tesseleringen med en enda typ av månghörning, där alla sidor är lika långa, finns det därför ett begränsat antal alternativ. Eftersom fyra stycken räta vinklar och sex stycken 60°-vinklar tillsammans utgör ett helt varv (4 · 90° = 360° och 6 · 60° = 360°) kan man – som vi ser här ovanför – tesselera planet med både kvadrater och liksidiga trianglar. Finns det fler möjligheter?
Tabellen visar att bara en annan månghörnings vinkel går jämnt upp i 360° – sexhörningens 120°. Vi kan alltså täcka planet med regelbundna sexhörningar om vi låter tre sexhörningar mötas i varje hörn (3 · 120° = 360°). Faktum är att inga andra regelbundna månghörningar duger. I tabellen ser vi nämligen att vinkeln blir större i takt med att antalet hörn i månghörningen ökar. De enda talen större än 120 som går jämnt upp i 360° är 180 och talet 360 själv, men 180° och 360° kan inte vara vinklar i en månghörning.
Tillåter vi endast regelbundna månghörningar finns det alltså bara tre sätt att tesselera planet: med kvadrater, trianglar eller sexhörningar. Medger vi andra typer av figurer finns det dock mängder av alternativ. En som utforskade dessa möjligheter var holländaren och konstnären M.C. Escher (1898–1972). Han har blivit världsberömd för sina ikoniska tesseleringar med figurer som fåglar, änglar eller demoner.
För att färdigställa många av sina verk behövde Escher lösa matematiska problem, men själv var Escher ingen skolad matematiker. Han brevväxlade dock med flera matematiker, bl.a. Roger Penrose och Coxeter, vars omöjliga figurer och hyperboliska tesseleringar utgjort förlagor till några av Eschers mest effektfulla verk.
Sammanfattning
M.C. Escher har sagt: ”Alla konstuttryck, oavsett om det är musik, litteratur eller bildkonst, handlar först och främst om att till omvärlden kommunicera, och för sinnena göra förnimbart, en personlig tanke, en slående idé eller inre känsla.” Som exemplen här ovanför visar kan den slående idén vara matematisk. Ibland, som i fallet med Christensens dikt, Mozarts pianosonat och fotoapparnas gyllene rutnät, är den matematiska idén ett ramverk för den kreativa processen – den utgör en färdig form att befolka med sitt innehåll. I andra fall är den matematiska idén själva föremålet för skapandet. Så är det exempelvis för de konstnärer och musiker som försökt få oss att se och lyssna på talet π. Idén bakom konstverket blir i dessa fall lika hisnande som – eller kanske mer hisnande än – den visuella eller auditiva upplevelsen. Det är lite som en låt där man uppskattar musiken, men där den verkligt känslomässiga upplevelsen träder in först när man lyssnar på texten.
För en matematiker behöver dock en idé varken kläs i färger, former eller toner för att den ska erbjuda en estetisk upplevelse. Som vi ska se i nästa blogginlägg är matematiken för dem en egen konstform.
Referenser och vidare läsning
BBC4, Art of Now: A mathematicians guide to beauty
Christensen, Inger (1981) Alfabet, Modernista
Christersson, Malin, Tesselering
Officiell hemsida M.C. Escher: www.mcescher.com
Ornes, Stephen (2019) Math Art – Truth, Beauty and Equations, Sterling Publishing
Posamentier, A.S. & Lehmann, I. (2007) The (Fabulous) Fibonacci Numbers, Prometheus books
Wikipedia, Escher https://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher
Wikipedia, Tesselering https://en.wikipedia.org/wiki/Tessellation